mat 8u3 1

v

MATEMÁTICA
Unidad 3
Factorización y Áreas
de regiones planas

Objetivos de la unidad:
Utilizarás la factorización algebraica como un medio para
interpretar tus contextos escolares y sociales, y de esta manera
proponer soluciones creativas a los problemas que en dichos
ámbitos existan.
Aplicarás el cálculo de superficies y volúmenes en tu entorno, a
fin de buscar soluciones a las diversasproblemáticas que puedan
presentarse, valorando además la armonía y belleza geométrica
que te rodean.

55

Factorización
mediante los casos de:
Diferencia de
cuadrados

Suma de
cubos

Diferencia de
cubos

Trinomios cuadrado
perfecto y diferencias
de cuadrados

Por división
sintética

Regiones planas
pueden ser:
Rectángulo, triángulo, rombo,
cuadrado, trapecio y romboide.

Polígonos regularesSector circular

Corona circular

El cubo

Lateral y total del ortoedro

Figuras compuestas

Descripción del Proyecto
Al finalizar la unidad tendrás la oportunidad de realizar cálculos que permitirán conocer
la cantidad de pintura que se necesita para pintar una casa con diseño arquitectónico.

56 Matemática - Octavo Grado

Lección 1

Tercera Unidad

Factoreo II
Motivación

U

na plaza tiene formacuadrada cuya dimensión es 5x de lado. Si un
ingeniero quiere diseñar una fuente que tenga la misma forma geométrica
pero de 2 m por lado, ¿tienes idea de cuál seria el área restante en la plaza
una vez construida la fuente?
Área de la plaza = (5x) (5x) = 25x2
Área de la fuente = 2 × 2 = 4
El área restante será 25x2 – 4

Indicadores de logro:
Factorizarás con certeza expresiones
algebraicasaplicando la diferencia de
cuadrados.
Resolverás problemas, con
perseverancia, aplicando la
descomposición de expresiones
algebraicas por diferencia de cuadrados.

Factorizarás con seguridad
expresiones algebraicas, aplicando la
suma de cubos.
Factorizarás con seguridad
expresiones algebraicas, aplicando la
diferencia de cubos.

Resolverás problemas, con
perseverancia, aplicando ladescomposición de expresiones
algebraicas por suma de cubos y/o
diferencia de cubos.

Diferencia de cuadrados
Observa la siguiente
figura:
¿Cómo encontrarás
el área de la figura que
queda al efectuar la
operación planteada?

y

y

− y

x
x

x2

−

y

Si reubicas la figura
anterior te queda la
siguiente:

x−y

La expresión obtenida en la situación anterior: 25x2 – 4, representa una diferencia de cuadrados.Área

y2

total
x+y

Aplicando tus conocimientos sobre el área de un rectángulo: A = bh, tienes que el área
de esta figura es: (x + y) (x − y).
Entonces resulta que x2 – y2 = (x – y) (x + y), como la multiplicación cumple con ser
conmutativa, este producto también puede expresarse así: x2 – y2 = (x + y)(x – y).

Octavo Grado - Matemática 57

UNIDAD 3
Ejemplo 1
Observa la figura. Recuerda que el áreade un cuadrado
es lado por lado: L × L
Encuentra el área del cuadro mayor menos el menor.

16x2
4x

4

Observa
Regla:
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades es
igual a la suma de las cantidades por la diferencia de
las mismas.

Ejemplo 3

2

Factoriza: 25n4 – 81m2

Solución:
Solución:

Encuentra la raíz cuadrada de ambos términos:

A = (4x) (4x) – (2) (2) = 16x – 4 donde 16x es el áreadel cuadro grande y 4 el área del cuadro pequeño.
2

2

Luego obtienes una diferencia de dos términos
cuadrados perfectos.
Como en el caso anterior para encontrar el área que
se te pide multiplicas la suma por la diferencia de las
longitudes de sus lados.
Entonces resulta que 16x2 – 4 = (4x + 2) (4x – 2).
Para resolverlo, extraes la raíz cuadrada a ambos
términos:
16x – 4 = 16 x = 4 x y 4 = 2 yluego lo expresas
como el producto de la diferencia de sus raíces por la
suma de las mismas:
2

2

16x2 – 4 = (4x + 2) (4x − 2).

Ejemplo 2
Factoriza: 49m2 – 144n6

Solución:
Extraes la raíz cuadrada a ambos términos
49m 2 = 7m,

144 n 6 = 12n 3

Luego expresas el polinomio de forma factorizada así:
49m 2 − 144 n 6 = ( 7 m + 12n 3 )( 7 m − 12n 3 )

58 Matemática - Octavo Grado

25n 4 = 5n 2 y...