Mat. p/economistas - apunte

APUNTES TEORICOS DE : MATEMATICA PARA ECONOMISTAS
Curso: Alicia Bernardello - PAG. 1

Transformaciones Lineales: Sea una T.L.: V(W , donde V es el espacio de salida, W el espacio de llegada, v y w vectores de V.

Es una funcion, que para ser T.L. 1) T ( v + w ) = T(v) + T(w)
debe cumplir con 2 condiciones.2) T ( ". v ) = " . T(v)

Para ser transformación lineal, el vector imagen (Y) debe ser una combinación lineal del vector preimagen ( X ).

MONOMORFISMO: T.L. Inyectiva: Si x1 ≠ x2 ( F(x1) ≠ F(x2) N ( T ) = { 0P }
Si los elementos de la preimagen son distintos, le correpondes distintas imágenes.
Si N(t)= vector nulo, entonces la T.L. es inyectiva.HEPIMORFISMO: T.L Sobreyectiva: Imagen = Codominio. dim R( T ) = dim ( W )
Si algun elemento no tiene preimagen, no es sobreyectiva. No importa que una misma imagen tenga varias preimagenes.

ISOMORFISMO: T.L. Biyectiva: o sea, que debe ser T.L. Inyectiva y T.L. sobreyectiva.
Propiedad de la funcion Biyectiva: Tiene Inversa.
Una T.L. es biyectiva si tiene inversa. ( la matrizasociada debe ser cuadrada)
O sea: Espacio de salida = Espacio de llegada ¿?
Toda matriz de cambio de base debe ser un isomorfismo. ( necesita inversa para volver )

ENDOMORFISMO: T.L. que va de un espacio de salida, al mismo espacio de llegada. T.L.: (K ( (K

AUTOMORFISMO: Es un endomorfismo (del espacio en si mismo ) , que es Isomorfismo ( biyectiva )

NUCLEO: Conjunto formadopor los vectores del espacio de salida ( X ) , que tienen como imagen el vector nulo en el espacio de llegada ( Y )
El núcleo de la T.L. es un subespacio del espacio de salida. Puede ser que todo el espacio de salida sea el nulo.

Existe la T.L. Nula : T [[ 0 0 ] [0 0] [0 0 ]] Todos los vectores del espacio de salida, son el nucleo de la transformacion. (cada espacio es unsubespacio en si mismo. )

Teorema de la dimension: dimension del + dimension de la = dimension
nucleo de la T.L. Imagen de la T.L. del espacio de salida
T .L. : V ( W dim N ( T ) + dim R ( T ) = dim ( V )

[pic] El vector nulo no puede formar parte de una base, porque es linealmente dependiente.

TEOREMAS:
Teorema de la imagen de una T.L. : Es un subespaciodel espacio de llegada.

• Conjuntos de vectores L.D. del espacio de salida, tienen como imagen un conjunto de vectores tambien L.D. en el espacio de llegada.
L.D. ( L.D
• Conjuntos de vectores L.I. del espacio de Llegada, tienen como preimagen un conjunto de vectores tambien L.I. en el espacio de llegada.
L.I. ( L.I.
Si ademas la T.L. es inyectiva ( N ( T ) = { 0P } )entonces:
• Conjuntos de vectores L.I. del espacio de salida, tienen como imagen un conjunto de vectores tambien L.I. en el espacio de llegada.
L.I. ( L.I.
• Si la matriz de la T.L es ortogonal, se dice T.L. ortogonal.
• Si la matriz de la T.L es la identidad, se dice T.L. identidad.

En la matriz asociada a una T.L. las columnas representan los transformados de los vectores que componenla base del espacio de salida, expresados en la base del espacio de llegada.

Base: Conjunto ordenado de vectores L.I., y Sistema generador.
Para expresar un vector que esta en canonica , en la nueva base, hago la C.L. de los vectores de la nueva base.

Recordar:
T . X = Y P . X´ = X P: cambio de base en el espacio de salida ( formado por los vectores de la nueva base )T. P . X´ = Y Q.Y´= Y Q: cambio de base en el espacio de llegada ( formado por los vectores de la nueva base )
T. P . X´ = Q.Y´
Q-1 . T. P . X´ = Y´

APUNTES TEORICOS DE : MATEMATICA PARA ECONOMISTAS
Curso: Alicia Bernardello - PAG. 2

Equivalencia de Matrices: 2 matrices A y B son...