Mat021 Apunte Materia

´tedra N◦ 1
Apuntes de Ca
´ticas 021
Matema
Mauricio Godoy Molina
Ayudante del Departamento de Matem´aticas
Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Valpara´ıso, Chile

2

´Indice
I

Matem´
aticas 021

7

1 L´
ogica Proposicional: Enfoque Algebraico
1.1 Propiedades, Definiciones y Teoremas . . .
1.1.1 Definiciones B´asicas . . . . . . . . .
1.1.2 Leyes de la L´ogica Binaria . . . . .
1.2Tipos de Demostraciones . . . . . . . . . .
1.2.1 Demostraci´on Directa . . . . . . . .
1.2.2 Reductio ad Absurdum . . . . . . .

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2 Temas sobre Teor´ıa de Conjuntos
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2.1 Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3 L´
ogica Proposicional: Enfoque Cuantificacional
27
3.1 Introducci´on a los Polinomios Booleanos . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Funciones L´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Cuantificadores: Definiciones y Aplicaciones . . . . . . . . . . 30
4 N´
umeros Reales
4.1 Construcci´on Axiom´atica de R . .
4.1.1 Axiomas Algebraicos . . .
4.1.2 Axiomas de Orden . . . .4.1.3 Axiomas de Completitud .
4.2 Tipos de Intervalos de R . . . . .
4.2.1 Intervalos Acotados . . . .
4.2.2 Intervalos no Acotados . .
4.3 Representaci´on Decimal: ¿Existen
4.4 Densidad . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Cardinalidad . . . . . . . . . . .
3

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otras bases?
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´INDICE

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4.6

4.5.1 Idea Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 ¿Discreto o continuo?: Cardinales . . . .
4.5.3 Otros Cardinales: Hip´otesis del Continuo
4.5.4 ValorAbsoluto . . . . . . . . . . . . . .
Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Desigualdades I . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Potencias, Logaritmos y Ra´ıces . . . . .
4.6.3 La Ecuaci´on Cuadr´atica . . . . . . . . .
4.6.4 Desigualdades II . . . . . . . . . . . . .

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Introducci´
on
Parece natural, al comenzar el estudio de la ingenier´ıa, que la necesidad
de conocer ciertos componentes b´asicos de las ciencias (y no tan ciencias)
que fundamentan el funcionamiento del mundo es no menos que un objetivo trascendental: porque lo que estudien en las matem´aticas y f´ısicas son
conocimientos que, tal vezno expl´ıcitamente, aparecer´an en lo que les reste
de vida.
Usualmente (as´ı lo confirman muchos prefacios de libros de matem´aticas)
los matem´aticos a la hora de escribir un libro para estudiantes, se encuentran con el dilema de qu´e elegir: pedagog´ıa o rigidez matem´atica. No
es mi intenci´on comparar estos apuntes con obras consagradas de grandes
matem´aticos (v´ease [1]), sino estructurarlode tal manera que compatibilice
estas dos alternativas sin restarle atenci´on a ninguna de ellas.
Una y otra vez los ayudantes (o al menos los preocupados de mejorar)
nos hemos encontrado con el grave problema que al sugerir libros a nuestros
ayudados surge la pregunta: ¿Qu´e necesitas: de donde yo estudi´e, del que
yo estudiar´ıa ahora o del que todo el mundo estudia? Esta pregunta posee
unarespuesta no trivial, dado que si sugiero el libro del que yo estudi´e estoy
comparando mi m´etodo de aprendizaje con el de mi ayudado; si sugiero
el libro del que estudiar´ıa ahora, probablemente – debido a la cantidad de
conocimientos acumulados – no ser´ıa un buen material de apoyo pedag´ogico
para los alumnos; finalmente al recomendar el libro del cual la gran mayor´ıa
estudia es de esperarse...