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TEMA 11 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS – MATEMÁTICAS I – 1º Bach 1

TEMA 11 – LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS
11.1 – LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
11.1.1 – LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Límite de una función en un punto
lim f ( x ) = l

Se lee: El límite cuando x tiende a c de f(x) es l

x→c

Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c
Notas:
- Que x se aproxima a“c” significa que toma valores muy cerca de “c” (Se puede
acercar por la izquierda o por la derecha).
- l puede ser +∞ ó -∞ y entonces x = c es una asíntota vertical.

Límites laterales de una función en un punto
• Límite por la derecha:
lim+ f ( x ) = l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la derecha de f(x) es l
x →c

Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c
porla derecha.

• Límite por la izquierda:
lim− f ( x ) = l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la izquierda de f(x) es l
x →c

Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c
por la izquierda.

Existen del límite
Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que existan los
dos límites laterales y sean iguales.

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11.1.2 – LÍMITES EN EL INFINITO
lim f ( x ) = +∞

x → +∞

Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es más
infinito
Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x
toma valores grandes positivos. (1º cuadrante)

lim f ( x ) = −∞

x → +∞

Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es menos
infinito.
Significa: lafunción toma valores grandes negativos cuando la x
toma valores grandes positivos. (4º cuadrante)

lim f ( x ) = l

x →+∞

Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma
valores muy grandes positivos: y = l es una asíntota vertical.

lim f ( x ) = +∞

x → −∞

Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es másinfinito
Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x
toma valores grandes negativos. (2º cuadrante)

lim f ( x ) = −∞

x → −∞

Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es
menos infinito.
Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la x
toma valores grandes negativos. (3º cuadrante)

lim f ( x ) = l

x →−∞

Se lee: El límite cuando x tiende amenos infinito de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma
valores muy grandes negativos: y = l es una asíntota vertical.

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11.1.3 – CÁLCULO DE LÍMITES
1 – Se sustituye la “x” por el valor al que tiende
5x
a) lim x 2
b) lim
x →3
x →2 x − 5
e) lim log10 x
d) lim (sen x + 3)
π
x→
4

c) lim 3x + 4
x →7f) lim 2x 2 + 4x + 7
x →+∞

x→0 ,1

g) lim − 2 x 2 − 4 x + 7

h) lim 2x 2 − 4x + 7

i) lim − 2x 2 + 4x + 7

j) lim 2 x + x 3 − 3

k) lim 2x + x 3 − 3

1
x → +∞ 3x
x3 −1
ñ) lim
x → −∞ − 5

x → +∞

l) lim

x →−∞

x → +∞

x3 −1
x → +∞ − 5

1
x → −∞
x2
2 – Indeterminaciones:
m) lim −

k
0

x →−∞

x → −∞

n) lim

Hallar límites laterales

−2
x−2
3x
e) lim
x → 2 (x − 2 )2

2
x−2
−3
d) lim
x →2 2 − xa) lim

b) lim

x →2

0
0

c) lim

x →2

x →2

f) lim
x →2

3
2−x
−3

(x − 2 )2

Factorizar y simplificar

x 2 − 5x + 6
x → 2 x 2 + 3x − 10

a) lim

x 3 − 5x 2 + 6 x
x → 2 x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12

b) lim

x 3 − 5x 2 + 6 x
x →3 x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12

c) lim

 ± ∞ Si grado del numerador > grado del denominado r (El signo depende de los

coeficient es de la x de mayor grado del numerador y deldenominado r)

∞ a
Si grado del numerador = grado del denominado r (a y b son los coeficient es

∞ b
de la x de mayor grado del numerador y del denominado r)


Si grado del numerador < grado del denominado r
0

x 2 − 5x + 3
x →∞
3x − 5
3x 2 − 5 x + 1
c) lim
x →∞
2x 2 − 5
a) lim

x2 + 3
x →∞
x3
x2 + 3
d) lim
x →∞ − x 3
b) lim

∞ - ∞ Se hacen operaciones. Cuando aparecen radicales,...