mat1610 compilado 1

´ lica de Chile
Pontificia Universidad Cato
´ ticas − Departamento de Matema
´ tica
Facultad de Matema
Primer Semestre 2014

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★

C´
alculo I
Resumen de conceptos y problemas resueltos
✧

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Sebasti´
an Soto Rojas
Estudiante de Ingenier´ıa Civil Electricista
(spsoto@uc.cl)

Segunda versi´on.
c 2013 − 2014 Sebasti´an Soto R.
1

´Indice
1. L´ımites y continuidad

7

1.1. Concepto de l´ımite . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. C´alculo de l´ımites y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Definici´on y existencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1. L´ımites por definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.2.Existencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.4.1. Concepto de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.4.2. Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.4.3. Teorema delValor Intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

1.5. L´ımites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

1.5.1. L´ımites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

1.5.2. As´ıntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2. Derivadas ydiferenciabilidad

68

2.1. Definici´on de derivada y recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.1.1. Definici´on de derivada y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.1.2. Rectas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.1.3. Derivadas y ´algebra de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

81

2.2. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.3. Derivaci´on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

2.3.1. Curvas impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

2.3.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 100

2

3. Aplicaciones de la derivada

105

3.1. Tasas de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2. Teoremas de Rolle y del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3. M´aximos, m´ınimos y gr´aficos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.1. Repaso conceptual . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4. Regla de L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5. Problemas de optimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.6. Otros . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4. Integrales

159

4.1. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2.1. Demostraci´on de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2.2. Cotas enintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2.3. Teorema del Valor Medio Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.3. Teorema Fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.3.1. Teorema Fundamental del C´alculo, parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.3.2. Teorema Fundamental del...