Mat1problemas3

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Matemáticas I. ADE y Economía. Curso 2015-16.
EJERCICIOS CAPÍTULO 3: Integración y series
1. Sean f (x) y g (x) dos funciones con la misma derivada, ¿son iguales? Razona tu respuesta.
2. Calculalas primitivas de las siguientes funciones:
a) f (x) =

3

x5

d) f (x) =

3
b) f (x) =
(x + 1)2
c) f (x) =

1
(2x + 3)3

e

g) f (x) = (x + 1)2 e x

x

x
cos(x)
e) f (x) =
sen(x)
1
f ) f (x) = 4
x5h) f (x) = x sen(x 2 + 2)
i) f (x) =

5x 4 − 6x + 1
x 5 − 3x 2 + x

3. Calcula las siguientes integrales definidas:
1

a)

π

x3 d x

d)

1

c)
0

e)

1

sen(x) d x

h)

−π
2

3
dx
x +1

f)
1

0

1
dx(x + 3)2

1

i)

x
x2 + 1

0
π

x3 d x

−1
e−1

g)

0

0

b)

2

cos(x) d x

dx

x 3 + 3x 2 − 2x d x
xe x d x

0

4. Calcula la función f (x) cuya derivada es f (x) = x 2 − 3x + 5 y cumple que f (0) =1.
5. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y =

−2x
y

y(0) = 1

b) y =

−2x
y

y(1) = 1

c) y − 3y = 0

y(0) = 2

3x + x y 2
y(1) = 1
2y + x 2 y
x
e) e x y −
y(0) = 0
2 + y2
1
f) y=
y (1) = 1, y(1) = 1
x

d) y = −

6. Calcula las áreas que se indican:
a) Área encerrada entre la gráfica de f (x) = x 3 − 7x 2 + 10x y el eje horizontal en el intervalo [0, 5]
b) Área encerrada entrela gráfica de f (x) = x − x 3 y el eje horizontal en el intervalo [−1, 1]
c) Área encerrada entre las gráficas de f (x) = x 2 y g (x) = −e x en el intervalo [−1, 1]
d) Área encerrada entre lasgráficas de f (x) = x 2 − 1 y g (x) = 4x − 4 en el intervalo [0, 4]
7. Utilizando integrales definidas calcula el área de las siguientes figuras:

2
8. Calcula las siguientes integrales impropias:
+∞

a)
1+∞

1
dx
x3

b)
0

x
dx
2
x +1

0

+∞

ex d x

c)

f (x) d x

d)
−∞

−∞

donde f (x) =

ex
e −x

si x ≤ 0
si x > 0

9. Estudia los límites de las siguientes sucesiones:
a)

l´ım

−

n→+∞

n

3
2

b)l´ım

n→+∞

−

1
2

n

c)

2n
n→+∞ 3n+1
l´ım

d)

22n
n→+∞ 3n+1
l´ım

10. Estudia la convergencia de las siguientes series numéricas. Calcula la suma de las que sean geométricas y convergentes:...