Mat3eso Ac 51 53 1

UNIDAD

5

3

Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es de la forma:
ax  2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
Para despejar la x, se sigue un largo y complicado proceso que no vamos a ver
aquí. El resultado final es la fórmula siguiente:
soluciones de una ecuación de segundo grado
2
x = –b ± √b  – 4ac
2a

El doble signo (±) quiere decir que puede haber dos soluciones:
Ejemplo
3x  2

–5x – 2 = 0

es una ecuación de segundo grado,
donde:
a = 3, b = –5, c = –2

2
2
x1 = –b + √b  – 4ac x2 = –b – √b  – 4ac
2a
2a
Estas dos soluciones pueden reducirse a una o a ninguna, según los casos.

Número de soluciones
La expresión D = b 2 – 4ac se llama discriminante de la ecuación. El número de
soluciones depende del signo de D:

2
x = 5 ± √(–5) – 4 · 3 · (–2) =
2·3
2= 5 ± √49 = 5 ± 7 =
6
6
– 1
3

• Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones:

D = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 49 > 0
Por eso, esta ecuación tiene dos soluciones.

x1 = –b + √D y x2 = –b – √D
2a
2a
• Si D = 0, solo hay una solución: x = –b . Se llama solución doble.
2a
• Si D < 0, √D carece de sentido. La ecuación no tiene solución.

© GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 3.° ESO. Materialfotocopiable autorizado.

Actividades
1 Para cada una de estas ecuaciones, indica cuánto valen a, b y c. Resuélvelas aplicando la fórmula:
a) x  2 – 4x – 5 = 0

b) 2x  2 – 7x + 3 = 0

c) –x  2 + x + 6 = 0

d) 2x  2 – 7x –4 = 0

e) x  2 – 10x + 25 = 0

f ) x  2 – x + 2 = 0

3 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x  2 – 5x + 6 = 0

b) 9x  2 + 6x + 1 = 0

c) 9x  2 – 6x + 1 = 0

d) 5x  2 – 7x+ 3 = 0

e) 2x  2 + 5x – 3 = 0

f ) 6x  2 – 5x + 1 = 0

g) x  2 – 3x + 15 = 0

h) x  2 – 0,1x + 0,2 = 0

3 Completa esta tabla:


a

b

5x 2 – 8x = 0
x 2 – 64 = 0
x 2 – 3x + 4 = 0
4x 2 + x – 3 = 0

 

c

¿tiene
solución?

x1 x2

4 Resuelve estas ecuaciones:
a) x  2 + 4x – 21 = 0

b) x  2 + 9x + 20 = 0

c) 9x  2 – 12x + 4 = 0

d) x  2 + x + 3 = 0

e) 4x  2 + 28x + 49 = 0

f  ) x  2 – 2x + 3= 0

g) 4x  2 – 20x + 25 = 0

h) –2x  2 + 3x + 2 = 0

51

 Ecuaciones incompletas
Las ecuaciones de segundo grado ax  2 + bx + c = 0 en las que los coeficientes b
o c son cero se llaman incompletas: ax 2 + c = 0 y ax  2 + bx = 0.
Ten en cuenta
• Si x 2 = 25, entonces x = ±5, pues
25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y
–5.
• Para que un producto de dos factores sea igual a cero, esnecesario que
sea 0 alguno de ellos:


x · (7x + 14) = 0

Aunque pueden resolverse aplicando la fórmula general, es posible encontrar sus
soluciones de forma mucho más sencilla. Por ejemplo:
• 3x  2 – 75 = 0 8 x  2 = 75 = 25 8 x = ±√25 = ±5
3
• 7x  2

°x = 0
§
+ 14x = 0 8 x  (7x + 14) = 0 8 ¢
14
§7x + 14 = 0 8 x = –  7 = –2
£

Ecuaciones sin término en x, ax  2 + c = 0


x = 0o bien 7x + 14 = 0

Para resolver las ecuaciones del tipo ax  2 + c = 0 no es necesario aplicar la fórmula general, pues se puede despejar x con toda sencillez:

√

x  2 = –  c 8 x = ±  –  c
a
a
Ecuaciones sin término independiente, ax  2 + bx = 0
Para resolver las ecuaciones del tipo ax  2 + bx = 0 no es necesario aplicar la
fórmula general, pues se puede sacar factor comúnla x e igualar a cero cada
uno de los dos factores:
(ax + b) · x = 0 8 Soluciones: x1 = – b , x2 = 0
a

Ejercicio resuelto
a) 2x  2 – 98 = 0
b) 2x  2 + 98 = 0
c) 5x  2 + 95x = 0

a) 2x 2 – 98 = 0 8 2x  2 = 98 8 x  2 = 98 = 49 8 x = ±√49 = ±7
2
Las soluciones son x1 = 7, x2 = –7.
b) 2x  2 + 98 = 0 8 2x  2 = –98 8 x  2 = – 98 = –49
2
No tiene solución, porque elcuadrado de un número no puede ser negativo.
Es decir, √–49 no tiene sentido.
°x = 0
c) 5x  2 + 95x = 0 8 x  (5x + 95) = 0 8 ¢ 1
£5x + 95 = 0 8 x 2 = –95/5 = –19

Actividades
2 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución:

52

a) 3x  2 – 12x = 0

b) x – 3x  2 = 0

c) 2x  2 – 5x = 0

d) 2x  2 – 8 = 0

e) 9x  2 – 25 = 0

f  ) 4x  2 + 100 = 0...