Mat3prac

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Ejercicios de Fundamentos
de C´
alculo y Aplicaciones

Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela
Septiembre 2005

Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centro deAn´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.

PROBLEMARIO
Pr´actica 1.Nociones b´asicas y ecuaciones diferenciales de primer orden.

1

Pr´actica 2.
Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes.

8

Pr´actica 3.
Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.

10

Sucesiones.

12

Series num´ericas.

17

F´ormula de Stirling y producto de Wallis.

21

Geometr´ıa plana y del espacio.

22

Curvas en el plano y en el espacio.

27Integrales de l´ınea.

30

Matrices y sistemas lineales.

31

Transformaciones Lineales.

35

Campos escalares.

38

L´ımites de campos escalares.

39

Diferenciaci´on de campos escalares.

41

Pr´actica 4.
Pr´actica 5.
Pr´actica 6.
Pr´actica 7.
Pr´actica 8.
Pr´actica 9.
Pr´actica 10.
Pr´actica 11.
Pr´actica 12.
Pr´actica 13.
Pr´actica 14.

iii

iv

PROBLEMARIO

Pr´actica 15.
Plano tangente a algunassuperficies.

45

Derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor.

46

M´aximos y m´ınimos.

47

Integrales dobles.

49

Integrales triples.

52

Teorema de Green.

54

Pr´actica 16.
Pr´actica 17.
Pr´actica 18.
Pr´actica 19.
Pr´actica 20.

Bibliograf´ıa

55

´
´
PRACTICA
1. ECUACIONES BASICAS
Y DE PRIMER ORDEN.

1

Pr´
actica 1.
Nociones b´
asicas y ecuaciones diferenciales de primer orden.(1) Verifique, por sustituci´on, que la funci´on dada y (expl´ıcita o impl´ıcitamente) es
soluci´on de la ecuaci´on diferencial correspondiente.
(a) y = 2x; y = x2 + 3.
(b) y y = e2x ; y 2 = e2x + 1.
(c) xy + y = y

1 − x2 y 2 ; y = arcsen xy.

(d) (y cos y − sen y + x)y = y; y + sen y = x.
(e) y + y = 3 cos 2x; y = cos x − cos 2x.
(f) y + y = 3 cos 2x; y = sen x − cos 2x.
(g) x2 y − xy + 2y = 0;y = x cos(ln x).
(h) x2 y + 5xy + 4y = 0; y =

1
.
x2

(2) En los siguientes problemas se describe una funci´on y = g(x) mediante alguna
propiedad geom´etrica de su gr´afica. Escriba una ecuaci´on diferencial de la forma
y = f (x, y) cuya soluci´on (o una de sus soluciones) sea g(x).
(a) La pendiente de la gr´afica de g en el punto (x, y) es la suma de x e y.
(b) La recta tangente a la gr´afica deg en el punto (x, y) interseca al eje de las x
en el punto (x/2, 0).
(c) Toda l´ınea recta, perpendicular a la gr´afica de g, pasa por el punto (0, 1).

2

PROBLEMARIO

(3) En los siguientes problemas escribir una ecuaci´on diferencial, que sea un modelo
matem´atico de la situaci´on descrita.
(a) La tasa de cambio con respecto al tiempo de una poblaci´on P es proporcional
a la ra´ız cuadrada deP .
(b) La tasa de cambio con respecto al tiempo de la velocidad v de un bote costero
de motor es proporcional al cuadrado de v.
(c) La aceleraci´on dv/dt de cierto autom´ovil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 kil´ometros por hora y la velocidad v del autom´ovil.
(d) En una ciudad que tiene una poblaci´on fija de K personas, la tasa de cambio
con respecto al tiempo del n´
umero Nde personas que han o´ıdo un cierto rumor
es proporcional al n´
umero de personas que todav´ıa no lo han o´ıdo.
(4) Hallar la soluci´on general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de
variables separables.

(a) y = e3x − x.
(b) x y = 1.

(i) (1 + x2 )

dy
+ 1 + y 2 = 0.
dx

(j) y ln y dx − x dy = 0.
2

(c) y = x ex .
(d) y = arcsen x.
(e) (1 + x) y = x.
(f) (1 + x3 ) y = x....