Matavan

Matemáticas Avanzadas
Dr. Erick E. Luna Rojero
Facultad de Ingeniería
División de Ciencias Básicas
Universidad Nacional Autónoma de México
2009 (ver. 0.1)
http://basicas.fi-c.unam.mx

2

Índice general
I

Variable compleja

7

1. Funciones de variable compleja y mapeos
Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . .
El plano de Argand . . . . . . . . . . . . . . . .
Función Compleja . . . . .. . . . . . . . . . .
Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . .
Función exponencial compleja . . . . . . .
Función logaritmo . . . . . . . . . . . . .
Funciones trigonométricas . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios en clase . . . . . . . . . . . . .
Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Funciones analíticas y mapeos conformes
Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivada compleja . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones de Cauchy-Riemann-(D’Alembert) .
FuncionesAnalíticas . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . .
Derivadas de funciones importantes . . . . . . .
Función exponencial . . . . . . . . . . . .
Funciónes trigonométricas . . . . . . . . .
Función logaritmo . . . . . . . . . . . . .
Mapeo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mapeo isogonal . . . . . . . . . . . . . . .
Algunos mapeos . . . . . . . . . . .. . .
Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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26

3. Integral de línea de funciones de variable compleja
Integral de línea compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integración paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Teorema integral de Cauchy-Goursat
Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Independencia de la trayectoria . . .
Antiderivada . . . . . . . . . . . . .
Deformación . . . . . . . . . . . . . .

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5. Fórmulas integrales de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
Derivadas de funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extensión de la fórmula integral de Cauchy para una anillo . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

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