mate 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingenier´ Civil
ıa
Departamento Acad´mico de Ciencias B´sicas
e
a

Ciclo 2013-2

EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS II (MA123 G-H-I)
Profesor(es)
D´ y hora
ıa
Indicaciones

Pregunta 1

:
:
:
:

ASTETE CH., Rolando; CARRILLO C., F´lix
e
14 de Octubre de 2013 - 14:00-15:50
Sin copias ni apuntes. Prohibido el pr´stamo de calculadorasy correctores,
e
uso de celulares.

(5 puntos)

Se quiere hallar un polinomio Pn (x) que sirva para calcular valores aproximados de la funci´n f (x) =
o
arc sen x , x ∈ [0 , 0,1], con un error de truncamiento menor que 0,5 × 10−4 .
a) Determinar el menor grado que debe tener dicho polinomio.
b) Los valores aproximados hallados mediante dicho polinomio, ¿pueden ser dados con 3 cifrasdecimales? ¿Con 4 cifras decimales? ¿m´s de 4 cifras decimales? En cada caso justifique sus respuestas.
a
c) Halle el valor aproximado para arc sen 0,1.
Pregunta 2

(5 puntos)

Una part´
ıcula se mueve con vector de posici´n:
o
f (t) =

ln t +

1 + t2 ,

t
, ln(1 + t)
1+t

Para el instante en que su vector velocidad tiene la direcci´n de la recta x − 1 = y − 2 = z − 5:
o
a)Calcule las componentes tangencial y normal de su aceleraci´n.
o
b) La curvatura y centro de curvatura de su trayectoria.
c) La torsi´n y la ecuaci´n del plano osculador.
o
o
Pregunta 3

(5 puntos)

Sea la funci´n:
o
f (x, y) =

√
y sen x

a) Represente mediante una regi´n sombreada en el plano xy el dominio de la funci´n:
o
o
b) Dibuje la curva de nivel k = 1 de f .
Pregunta 4(5 puntos)

Sea la funci´n:
o
f (x, y, z) = x2 − y 2 − 2xz + 2yz − 1
y sea S la superficie de nivel c = 0 de dicha funci´n.
o
a) Supongamos que S es una superficie cil´
ındrica, ¿qu´ tipo de curvas ser´ sus directrices y cu´les
e
ıan
a
ser´ las direcciones de sus generatrices?
ıan
b) Demuestre que S es un cilindro.
c) ¿C´mo ser´ la superficie de nivel c = −2 en comparaci´n con lasuperficie S?
o
a
o

SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS II
(CICLO: 2013-2)
Pregunta 1
Soluci´n: Sea f (x) = arc sen x , x0 = 0. Derivando sucesivamente:
o
f ′ (x) = √

1
1 − x2

f ′′ (x) =

,

x
3

(1 − x2 ) 2

f ′′′ (x) =

,

1 + 2x2
5

(1 − x2 ) 2

,

f iv (x) =

x(6x2 + 9)
7

(1 − x2 ) 2

Para n = 2, el residuo seg´n la f´rmula de Lagrange es:
uo
R2 =

(1 + 2c2 ) x3
f ′′′ (c) 3
x =
5
3!
(1 − c2 ) 2 3!

,

0 < c < x = 0,1

Como 0 < c < x = 0,1, entonces se verifican las siguientes relaciones:
1 + 2c2 < 1 + 2(0,1)2 = 1,02

1 − 0,01 < 1 − c2 < 1 ,

,

1<

1
1
<
2
1−c
0,99

Tomando en cuenta estas relaciones, el error de truncamiento E2 , para x = 0,1, verifica:
E2 = |R2 | <

[1 + 2(0,1)2 ](0,1)3
(1 − 0,01)5
2

=

(1,02) (0,1)3
5

(0,99) 2

≈ 1,74 × 10−4 > 0,5 × 10−4

Encontramos que E2 > 0,5 × 10−4 . Por lo tanto, n = 2 no cumple los requerimientos planteados.
Para n = 3, el error E3 verifica:
E3 = |R3 | =

c(6c2 + 9)(0,1)4
7
2

(1 − c2 ) (4!)

<

0,1[6(0,1) + 9](0,1)4
7

24(0,99) 2

≈ 0,04 × 10−4 < 0,5 × 10−4

Se verifica E3 < 0,5 × 10−4 . Por lo tanto, n = 3 cumplecon los requerimientos. As´
ı,
a) El menor grado del polinomio de aproximaci´n es 3. Evaluando en x = 0, se obtienen:
o
f (0) = 0 ,

f ′ (0) = 1

,

f ′′ (0) = 0

,

f ′′′ (0) = 1

Entonces el polinomio es:

x3
1
= x + x3
,
x ∈ [0 , 0,1]
3!
6
b) Los valores aproximados para arc sen x, obtenidos de este polinomio, no pueden ser dados con 3 cifras
decimales pues el error deredondeo ser´ de 0,5 × 10−3 , mayor que el error de truncamiento permitido. Si
ıa
puede darse con 4 cifras decimales exactas, porque entonces el error de redondeo no alterar´ el error de
ıa
truncamiento. Lo mismo ser´ si se d´ con m´s de 4 cifras decimales. Cuanto m´s cifras decimales se tomen,
ıa
a
a
a
menor es el error de redondeo y afectar´ menos al arror de truncamiento.
a
c)...