Mate 2

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.Contenido
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notaciónmoderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.2 La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada porWeierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.2

IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
La idea de límite es central en el estudio del cálculo y ha sido usada en muy diversas formas a través de los siglos.Desde los Griegos varios siglos antes de Cristo, en el método de exhausión, donde Arquímedes ocupa un lugar muy importante, varios siglos más tarde Newton la usó en sus famosos fluxiones con los cuales desarrolló el cálculo y Cauchy que formalizó la idea con la definición que conocemos en nuestros días.
Para ilustrar este concepto tan importante empezaremos por un ejemplo.
Consideremos la funciónf(x)=1-(x-2)2 y analicemos que sucede con los valores de la imagen cuando x toma valores cerca de 2.
Si tabulamos con y = f(x) tenemos lo siguiente

X | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.05 | 2.01

Y | 0 | .75 | .99 | .9975 | .9999 | 0 | .75 | .99 | .9975 | .9999

Cuál es el “último” valor que toma “y” cuando “x” se acerca a 2 pero sin ser igual a 2. Si analizamos lafunción restringida al dominio x, el conjunto de imágenes es un conjunto acotado por el número 1, en efecto 1 es el supremo; sin embargo 1 no está en dicho conjunto.
Por la definición de supremo hay imágenes arbitrariamente cerca de 1, lo que intuitivamente nos dice que cuando x está cerca de 2, f(x) debe estar cerca de 1.
Aquí podemos tener dos valores, uno al que está tendiendo la variable xy otro al que se acerca f(x), el cual no siempre existe.

Definición intuitiva de límite: Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número A por ambos lados, entonces decimos que "el límite de f(x) es L cuando x tiende a A"
Lim f(x)=L
x— A
Definición formal de límite: la función f(x) tiene como límite L en el punto deacumulación x=A cuando el valor absoluto (el módulo) de la diferencia entre los valores f(x) y L se puede hacer tan pequeño como se quiera con tal de considerar valores de x suficientemente próximos a A.
Lim f(x)=L
x— A... si para todo E 0, existe un § 0 tal que /f(x)-L/ E cuando /x-A/ §

Quizás te sirva verlo mejor en un ejemplo: hacemos la tabla de valores de la función f(x)= x^2+1.X................f(x)= x^2+1
2,2..................5,84
2,1................ .5, 41
2,01................5,04
2,001..............5,004
1,9..................4,61
1,99................4,96
1,999..............4,996

Los valores de x que están en verde son aquellos que se aproximan a 2 por la derecha, por valores mayores que 2. Los que están en rosa son los valores de x que se aproximan a 2 porla izquierda, por valores menores que 2.
Como podes ver en el gráfico, a medida que los valores de x se aproximan cada vez más a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores que determina la función se aproximan cada vez más al número 5. Esto se expresa diciendo que la función f(x)= x^2+1 tiene límite 5 en el punto x=2 o cuando x tiende a 2, que se indica simbólicamente:
Lim...