Mate 3013 Razon De Cambio Promedio

Razón de cambio promedio
MATE 3013

11.1

El cálculo diferencial

Cambios en variables.

Razón de cambio promedio
DEFINICION:
La razón de cambio promedio con respecto a x, a
medida que x cambia de x1 a x2, es la razón entre el
cambio en los valores de salida y los valores de
entrada :
y2  y1
,
x2  x1 donde x2 ≠ x1.

Razón de cambio promedio
DEFINICION (conclusión):
Si miramos la gráfica def , observamos que

y2  y1
f (x2 )  f (x1 )

,
x2  x1
x2  x1
representa la razón de
cambio promedio y a la
vez, es la pendiente de la
recta que va desde P(x1, y1) a
Q(x2, y2). La recta PQ,
se conoce como una
recta secante.

Razón de cambio promedio
Ejemplo 1: Para y  f (x)  x 2 determinar la razón
de cambio promedio a medida que:
a) x cambia de 1 a 3.
b) x cambia de 1 a 2.
c) x cambia de 2a 3.
Solución:
2
y

f
(x
)

f
(1)

1
 1.
1
a) Cuando x1 = 1,
2
y

f
(x
)

f
(3)

3
 9.
2
Cuando x2 = 3,
La razón de cambio promedio es
9 1 8
  4.
31 2

Razón de cambio promedio
Ejemplo 2 (conclusión):
2
y

f
(x
)

f
(1)

1
 1.
b) Cuando x1 = 1,
1
2
y

f
(x
)

f
(2)

2
 4.
Cuando x2 = 2,
1
La razón de cambio promedio es
4 1 3
  3.
2 1 1
2
y

f
(x
)

f
(2)

2
 4.
c)Cuando x1 = 2,
1
2
y

f
(x
)

f
(3)

3
 9.
Cuando x2 = 3,
1
La razón de cambio promedio es
94 5
  5.
3 2 1

La razón de cambio promedio es
Práctica corta 1
Instrucciones: Describa en una oración corta la razón de
cambio promedio para cada situación. No olvide incluir
unidades.

a.) Llovió 4 pulgadas en un periodo de 8 horas.
4 in  0 in 4 in 1 in


.
La razón de cambio promedio secalcula:
8 hr  0hr 8 in 2hr
Descripción: La razón promedio de lluvia fue de 0.5 pulgadas
por hora.

La razón de cambio promedio es
Práctica corta (continuación)
b.) Tu carro viaja 250 millas con 20 galones de gasolina.
La razón de cambio promedio se calcula: 250mi  0 mi  250 mi  25 mi .
20 gal  0 gal

20 gal

2 gal

Descripción: El promedio de las millas viajadas es 12.5 millas por
galón.
c.) A las2 p.m. , la temperatura era 82 degrees. A las 5 p.m. , la

temperatura era 76 degrees.
La razón de cambio promedio se calcula:

82−76 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
2 𝑃𝑀 −5𝑃𝑀

=

6
−3

= −2

Descripción: El cambio promedio en temperatura fue de 2 grados por
hora. Note que el negativo NO se escribe en la descripción, solo se
interpreta como que la temperatura bajó durante esas horas.

Razón de cambio promedioDEFINICION:
La razón de cambio promedio de f con respecto a x
también se llama el cociente diferencial y está dada por
f (x  h)  f (x) donde h ≠ 0.
,
h

El cociente
diferencial es igual
a la pendiente de la
recta secante a
la curva.

Razón de cambio promedio
El cociente de diferencias
es una
FORMULA, que nos
permite calcular la
pendiente de una recta
secante usando
cualquier par de puntos que
pertenecen ala curva bajo
estudio.
(x, f (x))
y (x+h, f (x+h)).

f (x  h)  f (x)
,
h

Razón de cambio promedio
Ejemplo 2: Dado f (x)  x 2, determinar el cociente
de diferencias cuando
a) x = 5 y h = 3.
b) x = 5 y h = 0.1.
a) 1) Se sustituye x = 5 y h = 3 en la fórmula:

Razón de cambio promedio
Ejemplo 2: Interpretamos el resultado gráficamente

Recta secante que
pasa por dos
puntos.
La pendiente de larecta secante que
pasa por (5, 25) y
(8, 64) es

Razón de cambio promedio
Ejemplo 2 (cont.):
b) (1)Sustituimos x = 5 y h = 0.1 en la fórmula:

f ( x  h)  f ( x )
f (5  0.1)  f (5)
f (5.1)  f (5)


h
0.1
0.1
5.12  52
26.01  25
1.01

 10.1


0.1
0.1
0.1

Razón de cambio promedio
Ejemplo 2 (conclusión):

Recta secante que
pasa por dos
puntos.
La pendiente de la
recta secante que
pasapor (5, 25) y
(8, 64) es

f ( x  h)  f ( x )
 10.1
h

Razón de cambio promedio
2
f
(x)

x
Ejemplo 3: Para
hallar una fórmula para el
cociente diferencial para cualquier punto en la
curva.

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ 2 − (𝑥)2
=
ℎ
ℎ
𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − (𝑥)2
=
ℎ
2𝑥ℎ + ℎ2
=
ℎ
ℎ(2𝑥 + ℎ) = 2𝑥 + ℎ
=
ℎ

Razón de cambio promedio
Ejemplo 3: (cont.) Ahora para hallar el cambio promedio
para 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 entre x =...