Mate 5

Manual Matemática Intermedia II

Capitulo 14
14.4.1
Determine una ecuación del plano tangente a la superficie desde el
punto específico

Ecuación del plano tangente a la superficie

[

]

[

]

14.3.15
Calcule las primeras derivadas parciales de la función

14.3.16

Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual Matemática Intermedia II

14.3.21

14.3.51
Determinelas segundas derivadas parciales

14.3.61
Encuentre la derivada parcial indicada

Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual Matemática Intermedia II

14.4.12
Fórmula 4. Pag. 894 es

La formula anterior se llama aproximación lineal o aproximación del
plano tangente de f en (a,b)

Ver el teorema 8 en la página 895: si las derivadas parciales fx y fy
existen cerca de (a,b) y soncontinuas en (a,b) son continua s en (a,b)
entonces f es diferenciable en (a,b) cumple con el teorema 8

14.4.25
Determine el diferencial de la función

14.4.26

[

]

Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual Matemática Intermedia II

14.5. 1
Si
cuando

, donde

y

, determine

.

S olución
La regla de la cadena da

No es necesario escribir las expresiones paray en términos de t.
Simplemente observe que cuando
se tiene
y
. Por lo tanto,
|

14.5.2
La presión , en kilopascales, el volumen , en litros y la
temperatura , en kelvin, de un mol de un gas ideal, están
relacionados mediante la ecuación
Determine la razón a
la cual la presión cambia cuando la temperatura es de
y se
incrementa a razón de
y el v olumen es de
y se
incrementa arazón de
.
S olución
Si se representa el tiempo que transcurre en segundos, entonces en el
instante dado
. Puesto que

Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual Matemática Intermedia II

Con la regla de la cadena

La presión disminuye a razón de casi
1 4.5.3

Si

, donde

y

, calcule

y

.

S olución
Al aplicar el caso 2 de la regla de la cadena, obtenemos

1 4.5.4

Exprese la regla de la cadena para el caso donde
,
y
.

y

S olución
Aplique le teorema 4 con
y
. Se obtiene que si una rama va
desde a , entonces la derivada parcial para esa rama es
. Con
la ayuda del diagrama de árbol, puede escribir las expresiones
necesarias:

Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual Matemática Intermedia II

14.5. 5
Si
, donde
determine elvalor de

,

y

cuando

,

,

,
.

S olución
Con la ayuda del diagrama de árbol

(
Cuando

)
,

(
y

)
tiene

,

y

, de este modo

14.5.6
Si

y

es diferenciable, demuestre que

cumple con la ecuación

S olución
Sea
y
de la cadena dan

. Entonces

y la regla

Por lo tanto,

Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual MatemáticaIntermedia II

(

)

(

)

14.5. 7
Si las derivadas parciales de segundo orden de
continuas y
.

y

son

, calcule (a)

y (b)

Solución
(a) La regla de la cadena da

(b) Al aplicar la regla del producto a la expresión en la parte (a) obtiene
(

)
(

)

(

)

Pero al aplicar la regla de la cadena una vez mas
(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)Al sustituir estas expresiones en la ecuación y usar la igualdad de las
derivadas de segundo orden combinadas, obtiene
(

)

(

)

Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual Matemática Intermedia II

14.5.8
Determine

si

.

Solución
La ecuación dada se puede escribir como
de modo que la ecuación da como resultado

Ahora se supone que está dada en forma implícitacomo una función
mediante una ecuacion de la forma
. Esto
quiere decir que (
)
para todo
en el dominio .
Si y son diferenciables, entonces aplica la regla de la cadena para
derivar la ecuación
como sigue:

Pero

y

de este modo esta ecuación se transforma en

14.5.9
Determine

y

si
Universidad De San Carlos De Guatemala

Manual Matemática Intermedia II

Solución
Sea...