Mate discreta

Propiedades de las relacionesRELACIÓN MATEMÁTICA
Una relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano

Una Relación binaria es una relación entre dos conjuntos.
El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: en estecaso se representa como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

Tipos de relaciones
En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:
Relación unaria: un solo conjunto
Relación binaria: con dos conjuntos
Relación ternaria: con tres conjuntos
Relación cuaternaria: concuatro conjuntos
...
Relación n-aria: caso general con n conjuntos

CONJUNTOS Y APLICACIONES
Conjunto
Definición : Es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se llaman elementos.
Representación
Suelen emplearse letras mayusculas para los conjuntos y minusculas para los elementos.
Pertenencia de un elemento `x' a un conjunto `A' se denota : x " A
Elcontenido de un conjunto se representa :
• por extensión : encerrando todos sus elementos entre llaves. Ej : A={1,2,3,4...}
• por comprensión : mostrando entre llaves sus propiedades características. Ej : A={ x"N | 1 " x " 4 }
• mediante `Diagramas de Venn' : Los diagramas de Venn son regiones del plano que simbolizan conjuntos. No tienen valor demostrativo salvo para refutar con un contraejemplo.Tamaño o Cardinalidad
El tamaño de un conjunto A es su nº de elementos y se denota entre barras : |A|
Si un conjunto tiene " elementos se dice que es :
- infinito numerable si " aplicación biyectiva entre el conjunto y N.
- infinito no numerable en caso contrario. Ej : R ( porque " " decimales)
Subconjunto
Definición
Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A estambién un elemento de B.
Si además existe algun elemento de B no pertenencientes a A, se dice que A es subconjunto propio de B.
Ojo ! : A"B no excluye la posibilidad de que A"B, esta, es una información que ignoramos.
Representación
A subconjunto de B : A"B, o B"A
A subconj. propio de B : A"B, o B"A (notese como desaparece la línea de igual al excluirse tal posibilidad)
Propiedades de larelación "
• reflexiva (cumple la relacion consigo mismo) : A"A
• antisimetrica (no simetrica) : si A"B y B"A ! A=B
• transitiva (B hace de intermediario) : si A"B y B"C ! A"C
Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si mismo.
Las expresiones `x"A' y `{x}"A' son equivalentes, ambas expresiones significan que el conjunto que tiene a x
como único elemento essubconjunto de A.
Algunos conjuntos
Nulo `"' o `{}` : Es aquel que carece de elementos.
Ojo ! : |"|=0 pero {"}"" porque este conjunto ( {"} ), tiene un elemento: el nulo.
Universal `U' : Es la colección de todos los elementos implicados en el problema a considerar.
Iguales `A=B' : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden o repetición.
Diferencia `AB' : Es elconjunto de los elementos de A que no pertenecen a B : A-B={x| x"A, x"B} )
Diferencia simétrica `A"B' : (A"B)-(A"B)= (A "
Producto cartesiano
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a Xy el segundo a Y:

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.
Ejemplo 1
El producto cartesiano del conjunto de trece rangos de la baraja inglesa

con el de los cuatro palos:

conjunto de las 52 cartas de la baraja:

la forma matemática de expresarlo es:

Si los conjuntos involucrados son...