Mate Discretas

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

1. Conjuntos de n´ meros
u
1.1. N´ meros reales
u

1.1.1. RECTA REAL E INTERVALOS

Definiciones:
• N´ merosracionales: Q =
u

p
q

: p, q ∈ Z y q = 0 = {expresiones decimales finitas o peri´dicas}
o

u
o
• N´ meros irracionales: I = {expresiones decimales infinitas no peri´dicas}
• Los n´ meros reales sonlos racionales y los irracionales: R = Q ∪ I.
u
• La representaci´n gr´fica de los n´meros sobre una recta es la recta real.
o
a
u
Intervalos en la recta real:
r

cerrado

[a, b] = {x ∈ R :a ≤ x ≤ b}

abierto

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

a

semiabierto o semicerrado

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

a

semiabierto o semicerrado

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

ainfinito cerrado

[a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}

a

infinito abierto

(a, +∞) = {x ∈ R : x > a}

a

infinito cerrado

(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}

infinito abierto

(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}

rectareal

(−∞, +∞) = R

r

a

b

b

b

b

r

b

b

b

r

b

r

-

b

-



r

b



b

b



-

Valor absoluto:
El valor absoluto de un n´mero real a,que se representa |a|, es dicho n´mero cuando es mayor o igual que
u
u
cero, y su opuesto cuando es negativo:
|a| =

a
si a ≥ 0
−a si a < 0

= max {a, −a} =

√
a2

¡ojo!:

√
a2 =|a|

Geom´tricamente, sobre la recta real, la distancia de un n´mero al origen (cero) es su valor absoluto, y la
e
u
distancia entre dos n´meros reales es el valor absoluto de su diferencia:
ud(a, 0) = |a|

d(a, b) = |b − a|

Algunas propiedades importantes son las siguientes:
1. Si a ≥ 0: |x| = a ⇐⇒ x = ±a.
2. Si a ≥ 0: |x| < a ⇐⇒ −a < x < a ⇐⇒ x ∈ (−a, a)
3. Si a ≥ 0: |x| > a ⇐⇒ x >a o x < −a ⇐⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, +∞)
4. Desigualdad triangular: |a ± b| ≤ |a| + |b|
5. |a ± b| ≥ ||a| − |b||
Ejercicios
1. Dos personas que andan a la misma velocidad parten en el mismo...