Mate Discretas

algebra booleana








ÁLGEBRA BOOLEANA
• Desarrollada por George Boole




• Herramienta para representar proposiciones lógicas en forma algebraica




• Se aplica en representación de circuitos lógicos y diseño digital






EXPRESIONES BOOLEANAS

• Uso de variables booleanas (cuyos valores son 1 ó 0)



• Verejemplo 5.1 (pág. 179) del libro Matemáticas para la computación de José A. Jiménez Murillo



• Minitérmino: Es un producto booleano en la que cada variable aparece sólo una vez; es decir, es una expresión lógica que se compone de variables y los operadores lógicos AND y NOT. P. ejem. ABC y AB’C.



• Maxitérmino: Es una expresión lógica que se compone de variables y losoperadores lógicos OR y NOT. P. ejem. A+B’+C y A’+B+C.



• En álgebra booleana, se conoce como forma canónica de una expresión, a todo producto o suma en la cual aparecen todas sus variables en su forma directa o inversa.



• Una expresión lógica puede expresarse en forma canónica usando minitérminos o maxitérminos.


|• Todas las |expresioneslógicas |son |
|expresables |en forma canónica como |una |


“suma de minitérminos” o como un
“producto de maxitérminos”.




PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES
BOOLEANASa) Formadas con variables booleanas b) Valores de 1 (verdadero) ó 0 (falso)
c) Puede tener constantes booleanas (1 ó 0)
d) Puede tener operadores lógicos: AND (&,
^), OR (V) y NOT (¬, ‘, -, ~)


• Multiplicación lógica: AND
• xy = x ∙ y = (x)(y)
• Suma lógica: OR
• x + y
• Complemento(negación): NOT
• x’
e) Se puede obtener el resultado lógico de una expresión booleana aplicando las tablas
de verdad (valores de certeza)
f) Se puede aplicar la Ley de Morgan




EJEMPLO DE EXPRESIONES BOOLEANAS
• Suponga que un sistema lógico tiene 3 variables de entrada (A, B y C) y la salida de la función (F) se comporta de acuerdo a la siguiente tablade verdad:



|A |B |C |F |
|0 |0 |0 |0 |
|0 |0 |1 |1|
|0 |1 |0 |0 |
|0 |1 |1 |0 |
|1 |0 |0 |1 |
|1|0 |1 |0 |
|1 |1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |0 |Representación de la expresión booleana:


F = A’B’C + AB’C’ + ABC’




LEYES DEL ÁLGEBRA BOOLEANA




1.- Existencia de neutros
x + 0 = x
x ∙ 1 = x


2.- Conmutatividad
x + y = y + x
x ∙ y = y ∙ x


3.- Asociatividad
x +...