Mate financiera

Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veremos como se valora una renta de importes constantes.
El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos constantes de cuantía "C" será:
Vo = C * Äo
Por lo que:
Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 500.000pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral |
x|
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 |
Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2 |
Luego, i2 = 5,83% |
x|
Una vez que tenemos el tipo de interés semestral, vamos a aplicar la fórmula del valor actual, Vo = C * (1 + i2) * ((1 - (1 + i2)^-n)/ i2)|
luego, Vo =500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)^-10)/0,0583) |
"n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va en base semestral).|
luego, Vo = 3.926.151 ptas.|
x|
El valor actual de esta renta es de 3.926.151 ptas.|
Para calcular el valor final "Vn"
Vn = C * S¨f
Por lo que:
Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta delejemplo anterior:
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i2) * (((1 + i2)^n - 1) / i2) |
x|
luego, Vn = 500.000*(1+0,0583)*(((1 + 0,0583)^10 - 1) / 0,0583) |
luego, Vn = 500.000 * 13,8384 |
luego, Vn = 6.919.185 ptas. |
x|
Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 ptas|

La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. untítulo de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo).
Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos).
A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:
Periodo|1|2|3|4|5|.....|.....|.....|.....|.....|
xx|||||||||||
Importe (ptas) |1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe:
Periodo |Importe |Importe descontado |
x|x|x|
1|1|1 / ( 1 + i )|
2|1|1 / ( 1 + i )^2|
3|1|1 / ( 1 + i )^3|
4|1|1 / ( 1 + i )^4|
5|1|1 / ( 1 + i )^5|
.....|1|1 / ( 1 + i )^....|
.....|1|1 / ( 1 + i )^....|
.....|1|1 / ( 1 + i )^....|La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
APo = 1 / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula APo = 1 / i |
x|
luego, APo = 1 / 0,16 |
luego, APo = 6,25 ptas. |
Si en lugar de una rentaunitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * APo = C / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral |
x|
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 +i2)^2 |
Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2 |
Luego, i2 = 4,88% |
x|
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i|
luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488 |
luego, Vo = 20.491.803 ptas. |
En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan).
B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por ÄPo.
Periodo|Importe |Importe descontado |
x|x|x|
1|1|1|
2|1|1 / ( 1 + i )|
3|1|1 / ( 1 + i )^2|
4|1|1 / ( 1 + i )^3|
5|1|1 / ( 1 + i )^4|
.....|1|1 / ( 1 + i )^....|
.....|1|1 / ( 1 + i )^....|
.....|1|1 / ( 1 + i )^....|
Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
ÄPo = (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un tipo de...