Mate_II_Semana_10_Asintotas_y_Funcion_Racional
Páginas: 5 (1037 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2015
ASÍ
ASÍNTOTAS Y LA FUNCIÓ
FUNCIÓN
RACIONAL
MATEMÁ
MATEMÁTICA II
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Asíntota oblicua
Función racional
Ejercicios y aplicaciones
Semana 10
Introducció
Introducción
Si el costo diario, en dólares, de producir cubiertos de acero está dado por:
C ( x) = 500 − 8 x + 0,05 x 2
Donde x es el número de unidades producidas por día, entonces el costo
promedio por unidadestá dado por:
500 − 8 x + 0,05 x 2
C ( x) =
x
¿Qué se puede concluir respecto de esta última función cuando la cantidad
producida es cero? ¿y cuando es elevada (tiende al infinito)?
Así
Asíntota vertical
La recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si:
lim x →a− f ( x ) = ±∞
y
8
f(x)
y
8
f(x)
f(x)
−3
−2
f(x)
y
8
7
7
7
6
6
6
6
5
5
5
5
4
4
4
4
3
33
3
2
2
2
2
1
1
1
1
−1
1
−1
x=a
2
x
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
x=a
2
y
8
7
x
−4
lim x →a+ f ( x ) = ±∞
o
−2
−1
1
−1
2
3
4
x
−2
−1
1
−1
x=a
x=a
2
3
4
Así
Asíntota vertical
Ejemplos: hallar la(s) asíntota(s) verticales de las siguientes funciones:
2x − 5
1. f ( x ) =
x −3
x −1
2. g ( x ) = 2
x + 2x − 8
x2 − 4
3. h ( x ) = 2
x − 5x + 6
4. f ( x) =
2− x
9 −x2
Así
Asíntota horizontal
La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si:
lim x →−∞ f ( x ) = b
f(x)
lim x →+∞ f ( x ) = b
o
8
8
f(x)
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
y=b
1
y=b
1
x
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
3
−1
−1
1
2
3
4
5
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12
13
−1
2
f(x)
f(x)
5
1
4
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2−1
1
−1
2
3
y=b
3
y=b
2
−2
1
x
−3
−2
−1
1
−4
−1
−5
−2
−6
−3
−4
−7
−5
−8
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Así
Asíntota horizontal
Ejemplos: hallar la(s) asíntota(s) horizontales de las siguientes funciones:
2x − 5
1. f ( x ) =
x −3
x −1
2. g ( x ) = 2
x + 2x − 8
x2 − 4
3. h ( x ) = 2
x − 5x + 6
Así
Asíntota oblicua
La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de lafunción f(x) si:
m = lim x →±∞
y
f ( x)
x
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
b = lim x →±∞ f ( x ) − mx
8
7
6
5
4
3
2
1
−17
−16
−15
−14
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
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−11
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19
Así
Asíntota oblicua
Ejemplos: hallar la(s) asíntota(s) oblicuas de las siguientesfunciones:
x2 + 2x
1. f ( x ) =
x −3
x3 + 2
2. g ( x ) = 2
x −1
x2 + 2x −1
3. h( x ) =
x+2
Funció
Función Racional
La función racional está definida como el cociente de dos polinomios:
P ( x)
f ( x) =
Q ( x)
Dom f = ℜ − {x / Q ( x) = 0}
Ejemplos de funciones racionales:
f ( x) =
3x − 2
x +1
2x − 4
g ( x) = 2
x −x−2
Funció
Función Racional
Un caso especial: la hipérbola equilátera
Este tipode gráfica viene representada por una función racional con ambos
polinomios lineales.
y
4
Ejemplo:
3
2
4x + 3
f ( x) =
2x +1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
5
Esbozo de grá
gráficas de funciones
racionales
Para esbozar la gráfica de una función racional, se deben seguir los siguientes
pasos:
i)Determinar el dominio de la función.
ii)Hallar las intersecciones con los ejescoordenados.
iii)Hallar las asíntotas verticales.
iv)Hallar las asíntotas horizontales.
v)Hallar las asíntotas oblicuas.
vi)Tabular.
Nota: observe que cuando existe una asíntota oblicua, no existe asíntota
horizontal y viceversa.
Esbozo de grá
gráficas de funciones
racionales
Ejemplos: esboce la gráfica de las siguientes funciones:
2x − 5
1. f ( x ) =
x −3
x3 + 2
2. g ( x ) = 2
x −1
x2 + 2x − 33. h ( x ) =
x2 − 4
ASÍNTOTAS Y LA FUNCIÓN
RACIONAL
Matemática II
Aplicaciones
Aplicaciones
1.
Si el costo diario, en dólares, de producir cubiertos de acero está dado por:
C = 500 − 8 x + 0, 05 x 2
Donde x es el número de unidades producidas por día, entonces el costo
promedio por unidad está dado por:
500 − 8 x + 0,05 x 2
C ( x) =
x
Esboce la gráfica de la función costo promedio....
ASÍNTOTAS Y LA FUNCIÓ
FUNCIÓN
RACIONAL
MATEMÁ
MATEMÁTICA II
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Asíntota oblicua
Función racional
Ejercicios y aplicaciones
Semana 10
Introducció
Introducción
Si el costo diario, en dólares, de producir cubiertos de acero está dado por:
C ( x) = 500 − 8 x + 0,05 x 2
Donde x es el número de unidades producidas por día, entonces el costo
promedio por unidadestá dado por:
500 − 8 x + 0,05 x 2
C ( x) =
x
¿Qué se puede concluir respecto de esta última función cuando la cantidad
producida es cero? ¿y cuando es elevada (tiende al infinito)?
Así
Asíntota vertical
La recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si:
lim x →a− f ( x ) = ±∞
y
8
f(x)
y
8
f(x)
f(x)
−3
−2
f(x)
y
8
7
7
7
6
6
6
6
5
5
5
5
4
4
4
4
3
33
3
2
2
2
2
1
1
1
1
−1
1
−1
x=a
2
x
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
x=a
2
y
8
7
x
−4
lim x →a+ f ( x ) = ±∞
o
−2
−1
1
−1
2
3
4
x
−2
−1
1
−1
x=a
x=a
2
3
4
Así
Asíntota vertical
Ejemplos: hallar la(s) asíntota(s) verticales de las siguientes funciones:
2x − 5
1. f ( x ) =
x −3
x −1
2. g ( x ) = 2
x + 2x − 8
x2 − 4
3. h ( x ) = 2
x − 5x + 6
4. f ( x) =
2− x
9 −x2
Así
Asíntota horizontal
La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si:
lim x →−∞ f ( x ) = b
f(x)
lim x →+∞ f ( x ) = b
o
8
8
f(x)
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
y=b
1
y=b
1
x
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
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−1
1
2
x
3
−1
−1
1
2
3
4
5
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12
13
−1
2
f(x)
f(x)
5
1
4
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2−1
1
−1
2
3
y=b
3
y=b
2
−2
1
x
−3
−2
−1
1
−4
−1
−5
−2
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−3
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Así
Asíntota horizontal
Ejemplos: hallar la(s) asíntota(s) horizontales de las siguientes funciones:
2x − 5
1. f ( x ) =
x −3
x −1
2. g ( x ) = 2
x + 2x − 8
x2 − 4
3. h ( x ) = 2
x − 5x + 6
Así
Asíntota oblicua
La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de lafunción f(x) si:
m = lim x →±∞
y
f ( x)
x
18
17
16
15
14
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12
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10
9
b = lim x →±∞ f ( x ) − mx
8
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−17
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3
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15
16
17
18
19
Así
Asíntota oblicua
Ejemplos: hallar la(s) asíntota(s) oblicuas de las siguientesfunciones:
x2 + 2x
1. f ( x ) =
x −3
x3 + 2
2. g ( x ) = 2
x −1
x2 + 2x −1
3. h( x ) =
x+2
Funció
Función Racional
La función racional está definida como el cociente de dos polinomios:
P ( x)
f ( x) =
Q ( x)
Dom f = ℜ − {x / Q ( x) = 0}
Ejemplos de funciones racionales:
f ( x) =
3x − 2
x +1
2x − 4
g ( x) = 2
x −x−2
Funció
Función Racional
Un caso especial: la hipérbola equilátera
Este tipode gráfica viene representada por una función racional con ambos
polinomios lineales.
y
4
Ejemplo:
3
2
4x + 3
f ( x) =
2x +1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
5
Esbozo de grá
gráficas de funciones
racionales
Para esbozar la gráfica de una función racional, se deben seguir los siguientes
pasos:
i)Determinar el dominio de la función.
ii)Hallar las intersecciones con los ejescoordenados.
iii)Hallar las asíntotas verticales.
iv)Hallar las asíntotas horizontales.
v)Hallar las asíntotas oblicuas.
vi)Tabular.
Nota: observe que cuando existe una asíntota oblicua, no existe asíntota
horizontal y viceversa.
Esbozo de grá
gráficas de funciones
racionales
Ejemplos: esboce la gráfica de las siguientes funciones:
2x − 5
1. f ( x ) =
x −3
x3 + 2
2. g ( x ) = 2
x −1
x2 + 2x − 33. h ( x ) =
x2 − 4
ASÍNTOTAS Y LA FUNCIÓN
RACIONAL
Matemática II
Aplicaciones
Aplicaciones
1.
Si el costo diario, en dólares, de producir cubiertos de acero está dado por:
C = 500 − 8 x + 0, 05 x 2
Donde x es el número de unidades producidas por día, entonces el costo
promedio por unidad está dado por:
500 − 8 x + 0,05 x 2
C ( x) =
x
Esboce la gráfica de la función costo promedio....
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