Mate ii

Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.Definición
Consideremos lo siguiente:
* una función
donde D es un subconjunto de los números reales
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un conjunto finito de puntos {x0, x1,x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma deRiemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemannpor la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

Conceptode integral definida
Consideremos una funci´on y = f(x) definida sobre el intervalo [a, b] y que
toma valores positivos. Queremos calcular el ´area comprendida entre la curva
y = f(x), el eje deabscisas, X = a y X = b (ver Figura 1).
El problema se aborda, desde un punto de vista te´orico, mediante las
sumas inferiores y superiores, que utilizan rect´angulos con bases cada vez
m´as estrechasy que, intuitivamente, nos van dando el ´area requerida, cada
vez con mayor precisi´on (ver Figura 2).
Definici´on.- Consideremos una funci´on continua y = f(x) definida sobre
el intervalo [a, b].En este caso, se puede probar que el supremo de las sumas
inferiores coincide con el ´ınfimo de las sumas superiores, y este n´umero com´un
recibe el nombre de integral definida de y = f(x) sobreel intervalo [a, b],
y se representa por Z b
a
f(x)dx •

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a...