MATE IV 3C1 ED Ecuaciones Homogéneas

Ecuaciones homogéneas
F(x,y) es una función homogénea de grado n, si existe un número real, tal que de todo “t” se cumple: .
Ejemplo

Entonces se cumple que
La función es homogénea de grado4.
Ecuación diferencial homogénea
Una E.D. de la forma es homogénea si:
Son homogéneas del mismo grado.
Entonces, mediante la sustitución ó la transformamos en una ecuación de variablesseparadas.
Nota: Si la estructura algebraica:
1.- N es mas sencilla que M, entonces usar
2.- M es mas sencilla que N, entonces usar
Ejemplo resuelto
Ejemplo 1. Resolver
Despejando →
Entonces:
Eshomogénea de grado 3
Es homogénea de grado 3
Cambiando variable:
Derivando: →
Sustituyendo:
Factorizando:

→
Separando variables: → →
Entonces

Ejemplo 2.Resolver con y(1) = 0
es homogénea de grado 1
es homogénea de grado 1
Cambiando variable →
Sustituyendo



→
Integrando entonces
Sustituyendo valores iniciales y = 0 x = 1
→ →c = - 1

Ejemplo 3. Resolver
→
→
→
→

Ejemplo 4. →
→
→
Integrando por sustitución
→

Ejemplo5. Resolver →
→
→
→
Por cambio devariables
Entonces

Ejemplo 6. Mostrar que la ED se reduce a una ecuación homogénea mediante la transformación , para cierto valor de n. Determine el valor de n y resuelva la ecuación.Haciendo cambio de variable: →
Sustituyendo →
Separando variable:
Para que sea homogénea deber cumplirse que: → ó →
Tenemos una ecuación homogénea:
→
→
→ →→
Separando fracciones →
Integrado por cambio de variable:
Aplicando propiedades: →
Despejando → Como entonces Como entonces →Propuestos
1.) 2.) 3.
4.) 5.) 6.)

7.) 8.) 9.


E.D reducibles a homogéneas
Estudiaremos algunas ecuaciones que no son homogéneas, pero pueden reducirse a ellas.
Son de la forma:
y se presentan...