Mate

SOLUCIONES

EJERCICIOS DERIVADAS

1,Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

[pic]

Solución:

• Dominio ’ R − {1}

• Derivada:

[pic]

[pic]

• Signo de f' (x).

[pic]

f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, −2) y un mínimo en (2, 2).

2 .La producción de ciertahortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en °C) según la expresión: Q(x) = (x + 1)2 (32 - x)

a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.

b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

Solución:

a) Buscamos el máximo de la función Q(x):

Q '(x) = 2 (x + 1) (32 - x) + (x + 1)2 · (-1) = (x + 1) [2 (32 - x) - (x + 1)] == (x + 1) [64 - 2x - x - 1] = (x + 1) (63 - 3x)

[pic]

Q ''(x) = (63 - 3x) + (x + 1) · (-3) = 63 - 3x - 3x - 3 = -6x + 60

Q ''(-1) = 66 > 0 → en x = -1 hay un mínimo.

Q ''(21) = -66 < 0 → en x = 21 hay un mínimo.

Por tanto, la temperatura ha de ser de 21 °C.

b) La producción en este caso sería de:

Q(21) = 5 324 kg

3.Estudia el crecimiento y la curvatura de lasiguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión:

[pic]

Solución:

• Derivada:

[pic]

[pic]

[pic]

• Signo de f' (x):

[pic]

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene
[pic]

• Segunda derivada:

[pic]

[pic]

• Signo de f '' (x):

[pic]

f (x) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞); esconvexa en (−1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión:

(−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99)

4.Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?Solución:

Llamamos x al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería:

f (x) ’ (24 + x) (600 − 15x) ’ −15x2 + 240x +14 400

Buscamos x para que f (x) sea máxima:

f ' (x) ’ −30x + 240

[pic]

Veamos que es un máximo:

f '' (x) ’ −30 ; f '' (8) ’ −30 < 0 → en x ’ 8 hay máximo. (Como f (x) corresponde a una parabola invertida, en x ’ 8está el máximo absoluto).

Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24 + 8 ’ 32 árboles, que producirán 15 360 frutos.

5.Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

[pic]

Solución:

• Dominio = R - { 2 }

• Derivada:

[pic]

[pic]

f '(x) = 0 → -4x + 16 = 0 → x = 4

• Signo de f '(x):

[pic]

f (x) escreciente en (-∞, 2) ∪ (4, +∞); es decreciente en (2, 4). Tiene un máximo en (4, 1).

6. Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

Solución:

Llamamos x al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es:

[pic]

La superficie total del depósito(recordemos que está abierto) será:

[pic]

Buscamos x para que A sea mínima:

[pic]

A' ’ 0 → −16 000 + 2x3 ’ 0 → 2x3 ’ 16 000 →

[pic]

Veamos que es un mínimo:

[pic]

Por tanto, el lado de la base debe medir x ’ 20 dm y la altura, y ’ 10 dm.

7.Dada la función [pic], encontrar si existe un máximo o un mínimo.

Solución

[pic]
Paso 1. [pic]
Paso 2.Resolviendola ecuación f’(x)=0, tenemos:
[pic] , que es el valor crítico.
Paso 3. Cuando x5 [pic], entonces [pic] y f’(x) es negativo.
Puesto que el signo de la derivada cambia de positivo a negativo, la función tiene un valor máximo.

8.Calcular los máximos y los mínimos de la función: [pic]

Solución
[pic]
Paso 1. [pic]
Paso 2. [pic]
Luego x=(1,-1,1/5); es decir, los valores críticos.
Paso 3....