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En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
Premisa mayor: El número entero a tiene la propiedad P.
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n tengala propiedad P implica que n + 1 también la tiene.
Conclusión: Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P.
Contenido[ocultar] * 1 Demostraciones por inducción * 1.1 Ejemplo 1 * 1.2 Ejemplo 2 * 2 Véase también |
[editar] Demostraciones por inducción
El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue.Llamemos Pn a la proposición, donde n es el rango.
* Se demuestra que P0, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
* Se demuestra que si se asume Pn como cierta y como hipótesis inductiva, entonces Pn + 1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que Pn escierto para todo natural n.
La inducción puede empezar por otro término que P0, digamos por Pno. Entonces Pn no será válido a partir del rango n0, es decir, para todo natural .
[editar] Ejemplo 1
Para todo , 6n es un número que acaba en 6.
Sea Pn la proposición: «6n acaba en 6».
* Es claro que P1 es cierto, porque 61 = 6.
* Supongamos que Pn es cierto para un valor de n natural, yprobemos Pn + 1.
Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a + 6, con a entero positivo o igual a cero. La hipótesis es, pues, 6n = 10a + 6.
Entonces 6n + 1 = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6, con c = 6a + 3, entero.
Esta última escritura prueba que 6n + 1 acaba por 6, o sea que Pn + 1 es cierto.
Luego Pn es cierto para todo .
La inducción es válida por laconstrucción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. En este caso:
* 1 es un natural;
* si n lo es, entonces n + 1 (sucesor de n) lo es también.
Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional.
Además de la demostración porinducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: un = a + rn, o por inducción:
* u0 = a
* un + 1 = un + r.
[editar] Ejemplo 2
Véase también: Sumatorio
Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:

1. Se comprueba para n=1

Se tiene por tanto que la proposición es verdadera paran=1
2. Hipótesis inductiva (n=k)

3. Tesis inductiva (n=k+1)

4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis

Se aplica la hipótesis de inducción:

(sacando factor común)

Por lo tanto, por verificarse la proposición para n=1 y para n=k+1 siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica

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ESTRUCTURAS DISCRETAS |
DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN

Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico x arbitrario.Este último paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale para cualquier x.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

El esquema del razonamiento es el siguiente:

Llamemos Pn la...