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4.1.- POSTULADOS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

El Álgebra de Boole, fue presentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en su
artículo "An Investigation of the Laws of Thoght ... ", sin embargo, las primeras aplicaciones a circuitos de
conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Análisis simbólico de los
circuitos de conmutación y relés" hasta1938. A continuación se presentan los postulados fundamentales
del álgebra de Boole.

POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto
B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones
denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ( ), lascuales cumplen con las siguientes propiedades:

Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado
O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:

(a) x + O = x

(b) x. 1 = x

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:

(a) x+y = y+x

(b) x y =y x

Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, zen B:

(a) x + (y + z) = (x + y) + z

(b) x (y z) = (x y) z

Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:

(a) x+(y z)=(x+y) (x+z)

(b) x (y+z)=(x y)+(x z)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único
denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que

(a) x+x = 1

(b) x x = O

4.3.- TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANAA continuación se presenta un conjunto de resultados fundamentales; pero basados en los postulados del
1 al 6 presentados en la sección 4.1 y que por lo tanto son válidos para cualquier álgebra de Boole. Estos
resultados son presentados a manera de Teoremas y junto con los seis postulados representan las reglas
del juego para cualquiera que desee trabajar con el álgebra booleana.

La manerade demostrar los teoremas siguientes se puede basar en ideas intuitivas producto de la
familiaridad con algún álgebra booleana en particular, (en diagramas de Venn, o bien, en circuitos con
switches o en tablas de verdad) con la única condición de que se respete al pie de la letra los 6
postulados fundamentales. En estas notas sólo se usan razonamientos basados en los seis postulados.

Antesde presentar los teoremas es conveniente mencionar el siguiente principio que se deriva
directamente de la manera en que fueron presentados los seis postulados fundamentales, es decir, del
hecho de que cada postulado tiene dos incisos los cuales son duales uno del otro.

O Principio de Dualidad. Si una expresión booleana es verdadera, su expresión dual también lo es.

O Expresiones duales.Dos expresiones se dicen duales una de la otra, si una se puede obtener de la otra

cambiando las operaciones ( + ) por (Ÿ) y viceversa y cambiando los O's por 1 's y viceversa.

Ejemplo.
La expresión A + B = 1 es dual de la expresión AŸB = O,
Todas las expresiones de los incisos (a) de los postulados del álgebra booleana son duales de las
exprsiones de los incisos (b) correspondientes.Teorema 1. Multiplicación por cero
a) AŸ0 = 0
b) A+1 = 1

Demostración del inciso (a)

AŸ0 = AŸ0 + 0
= AŸ0 + AŸA
= AŸ(0 + A )
= AŸ(A )
=0

Explicación:
0 es el neutro de la suma
el producto de una variable por su complemento da 0
distributividad
una variable más el neutro no se altera
una variable por su complemento da 0

Teorema 2. Absorción
a) A + AB = A
b) A(A + B) = ADemostrando el inciso (a)

A + AB = AŸ1 + AB
= A(1 + B)
= A(1)
=A

este teorema se puede usar en diversos casos de simplificación, basta con usar identificar en una suma,
una expresión que se repite primero en forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.

Ejemplos.
La expresión XY + XYZ por absorción es igual a XY
La expresión A + A B por absorción es igual con A
etc....