mate

´
CAPITULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1.

´
INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO
• Tipo y orden de una ecuaci´ n diferencial
o
• Soluci´ n de una ecuaci´ n diferencial
o
o

• Ecuaciones lineales de segundo orden

• Ecuaciones de primer orden separables

• M´ todo de los coeficientes indeterminados
e

• Ecuaciones de primer orden homog´ neas
e

• M´ todo devariaci´ n de par´ metros
e
o
a

• Ecuaciones de primer orden lineales

2.

• Ecuaciones de primer orden exactas

• Ecuaciones lineales de orden superior

´
CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO

2.1. Definiciones y conceptos b´ sicos
a
Una ecuaci´ n diferencial es una ecuaci´ n en la que interviene una funci´ n inc´ gnita y una o varias de sus derio
o
o
o
vadas. Este tipo deecuaciones aparece en el estudio de numerosos fen´ menos f´sicos y qu´micos: desintegraci´ n
o
ı
ı
o
radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones qu´micas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirı
mar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta
´
ultima materia nos ayudar´ a entender mejor los fen´ menos naturales.
ao
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, b´ sicamente, atendiendo a dos criterios:
a
´
(1) TIPO: Si la funci´ n inc´ gnita contiene una unica variable independiente, entonces la ecuaci´ n se denomina
o
o
o
ecuaci´ n diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la funci´ n inc´ gnita contiene
o
o
o
dos o m´ s variables independientes, la ecuaci´ n sedice que es una ecuaci´ n diferencial en derivadas
a
o
o
parciales.
(2) ORDEN: Es la derivada de orden m´ s alto que aparece en la ecuaci´ n diferencial.
a
o
Es innecesario decir que el estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales requiere unas t´ cnicas
e
matem´ ticas que est´ n fuera del alcance del alumno, por lo que nos restringiremos al an´ lisis de las ecuaciones
aa
a
diferenciales ordinarias.
Consideremos una ecuaci´ n diferencial ordinaria
o
F (x, y, y , y , . . .) = 0.

´
MATEM ATICAS

98

Diremos que una funci´ n y = f (x) es una soluci´ n de la ecuaci´ n diferencial si la ecuaci´ n se satisface al sustituir
o
o
o
o
en ella y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas respectivas.
La soluci´ n general de una ecuaci´ n diferencialordinaria es una funci´ n y = f (x, c1 , c2 , . . .) dependiente de
o
o
o
una o varias constantes tal que cualquier soluci´ n de la ecuaci´ n diferencial se obtiene dando valores espec´ficos
o
o
ı
a una o m´ s de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la soluci´ n general,
a
o
surge una soluci´ n particular. Geom´ tricamente, la soluci´ n general de unaecuaci´ n diferencial de primer
o
e
o
o
orden representa una familia de curvas, denominadas curvas soluci´ n, una para cada valor concreto asignado a la
o
constante arbitraria.
En la pr´ ctica, la determinaci´ n de las constantes que aparecen en la soluci´ n general se realiza a partir de las
a
o
o
condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valoresque adquiere la funci´ n
o
soluci´ n o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuaci´ n diferencial de primer orden
o
o
y = F (x, y ),
una condici´ n inicial se expresar´a en la forma
o
ı
y (x0 ) = y0 .
En consecuencia, y = f (x) es soluci´ n si f (x) = F (x, f (x)) para todo valor de x en cierto intervalo, y f (x0 ) =
o
y0 .

2.2. Ecuaciones diferenciales deprimer orden
Una ecuaci´ n diferencial ordinaria de primer orden es una ecuaci´ n de la forma
o
o
y = F (x, y ),
donde F es una funci´ n que depende de las variables x e y . Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las
o
m´ s sencillas, y su resoluci´ n se puede realizar utilizando diversas t´ cnicas. Describimos a continuaci´ n las m´ s
a
o
e
o
a
importantes.

2.2.1. Ecuaciones...