Mate

1. Ecuaciones no lineales
1.1

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1 Dada la ecuaci´n xex − 1 = 0, se pide:
o
a) Estudiar gr´ficamente sus ra´ reales y acotarlas.
a
ıces
b) Aplicar el m´todo de la bisecci´n y acotar el error despu´s de ocho itee
o
e
raciones.
c) Aplicar el m´todo de Newton, hasta obtener tres cifras decimales exactas.
e
´
Solucion:
a) La ecuaci´n puede escribirsede la
o
forma:
1
ex =
x
Gr´ficamente, se observa que existe
a
una unica soluci´n real (intersec´
o
ci´n de las dos curvas) y que esta es
o
positiva. La demostraci´n anal´
o
ıtica
de este hecho es la siguiente:
Para x < 0:

1
1
< 0 y ex > 0 =⇒ ex =
x
x
y por tanto, no existen ra´ negativas.
ıces
Para x > 0:
f (x) = xex − 1 =⇒
1

f (0) = −1 < 0
f (+∞) = +∞ > 0

´Algebra Num´rica
e

2

y existe, por tanto, un n´mero impar de ra´ positivas (al menos una).
u
ıces
La funci´n derivada f (x) = xex + ex = (x + 1)ex s´lo se anula para
o
o
x = −1. Dado que, si existiese m´s de una ra´ positiva, el teorema de
a
ız
Rolle nos asegura que la funci´n derivada debe anularse en alg´n punto
o
u
intermedio y hemos visto que f (x) no se anula para ning´n valorpositivo
u
de la variable, podemos asegurar que s´lo existe una ra´ real α, que esta
o
ız
es positiva y simple, pues f (α) = 0.
Dado que f (1) = e − 1 > 0 y f (0) = −1 < 0, podemos asegurar que la
unica ra´ real de la ecuaci´n se encuentra en el intervalo (0, 1).
´
ız
o
´
´
b) Metodo de la biseccion:
[a1 , b1 ] = [a, b] = [0, 1] con
f (0.5) < 0
f (0.75) > 0
f (0.625) > 0
f(0.5625) < 0
f (0.59375) > 0
f (0.578125) > 0
f (0.5703125) > 0

f (0) = −1 < 0
f (1) = e − 1 > 0
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒

[a2 , b2 ] = [0.5, 1]
[a3 , b3 ] = [0.5, 0.75]
[a4 , b4 ] = [0.5, 0.625]
[a5 , b5 ] = [0.5625, 0.625]
[a6 , b6 ] = [0.5625, 0.59375]
[a7 , b7 ] = [0.5625, 0.578125]
[a8 , b8 ] = [0.5625, 0.5703125]

Tomando como aproximaci´n a la ra´ el punto medio del intervaloo
ız
x8 = 0.56640625 =⇒ ε8 ≤

1
= 0.00390625 =⇒ ε8 < 10−2
28

Si redondeamos a las dos primeras cifras decimales, es decir, si tomamos
α = 0.57, el error acumulado verifica que
ε < |0.57 − 0.56640625| + 0.00390625 = 0.0075 < 10−2
por lo que puede asegurarse que la soluci´n de la ecuaci´n es 0.57 con
o
o
las dos cifras decimales exactas.
´
c) Metodo de Newton:
f (xn )
f ( xn )Dado que, por el apartado anterior, se conoce que la ra´ se encuentra
ız
en el intervalo [0.5625, 0.5703125] y que
La f´rmula de Newton-Raphson es xn+1 = xn −
o

1.1. EJERCICIOS RESUELTOS

f (x) = xex − 1

=⇒

3


 f (0.5625) < 0
 f (0.5703125) > 0

f (x) = (x + 1)ex =⇒ f (x) > 0 ∀ x ∈ [0.5625, 0.5703125]
f (x) = (x + 2)ex =⇒ f (x) > 0 ∀ x ∈ [0.5625, 0.5703125]
la regla deFourier nos dice que x0 = 0.5703125
Al ser positiva la segunda derivada, la primera es creciente, por lo que
m´
in

x∈[0.5625,0.5703125]

|f (x)| = f (0.5703125) = 2.74227290150047 . . .

es decir
εn ≤

|f (xn )|
|f (xn )|
<
´
2.74
min
|f (x)|

x∈[0.5625,0.5703125]

obteni´ndose que
e
|f (x0 )|
= 0.00320437856505 . . .
2.74
|f (x1 )|
x1 = 0.56715149835900 . . . con ε1 <= 0.00000827757122 . . .
2.74

x0 = 0.5703125

con ε0 <

Si redondeamos a 0.567 el error acumulado es
ε < 0.00015149835900 . . . + 0.00000827757122 . . . < 10−3
Por lo que la soluci´n de la ecuaci´n es 0.567 con sus tres cifras decimales
o
o
exactas.
Ejercicio 1.2 Probar que la ecuaci´n x2 + ln x = 0 s´lo tiene una ra´ real y
o
o
ız
hallarla, por el m´todo de Newton, con 6 cifrasdecimales exactas.
e
´
Solucion: Si representamos las gr´ficas de las funciones y = ln x e y = −x2
a
obtenemos

´
Algebra Num´rica
e

4

Puede observarse que s´lo existe un punto de corte entre ellas, por lo que la
o
2
ecuaci´n x + ln x = 0 s´lo posee una ra´ real.
o
o
ız
Anal´
ıticamente hay que probar que las gr´ficas no vuelven a cortarse en ning´n
a
u
otro punto, sin...