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1. FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES


1.1 INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN A esta altura de nuestra formación tenemos claro el concepto de funciones en una variable; sin embargo, en muchas situaciones de la vida real aparecen cantidades de dos o más variables. Por ejemplo, si se pide el nivel de rendimiento académico de cada alumno de la UCV, entonces tendríamos que considerarvarios factores o variables. Por ejemplo: Estado emocional, situación económica, capacidad de concentración y muchos otros. Para estudiar tales relaciones se necesitan el concepto de función de varias variables.

1.2 CAPACIDAD A LOGRA Analiza situaciones reales haciendo uso de las funciones de varias variables. Modela situaciones reales y cotidianas.


1.3 DESARROLLO TEÒRICO – PRÀCTICOFUNCIONES DE DOS VARIABLES Una función de dos variables es del tipo

Las variables e son llamadas variables independientes y es la variable dependiente. Del mismo modo que para funciones de una variable, el número es el valor de en el punto .

DOMINIO DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES
El dominio de una función se define como el conjunto de puntos que tieneimagen. En general, se entiende que el dominio está dado de manera implícita en la propia fórmula y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la formula que define la función.








EJEMPLOS. Indique y esboce el dominio de las siguientes funciones.



























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1.4APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES La cadena de supermercados Metro vende equipos de refrigeración ensamblados y para ensamblar. Las ecuaciones de demanda que relacionan los precios unitarios y con las cantidades demandadas semanalmente e , de los equipos ensamblados y para ensamblar respectivamente, están dadas por:

y


a) ¿Cuál es la función de ingresostotales mensuales ? El ingreso semanal por la venta de x unidades ensambladas a dólares cada uno es $. Y el ingreso semanal por la venta de unidades por ensamblar, a dólares cada uno, es $ yq. De esto se deduce que la función ingreso semanal está dado por.

b) ¿Cuál es el dominio de tal función? Para hallar el dominio de la función , debemos de notar que las cantidades x,y,p,q deben de ser nonegativas, es decir:









1.5 GRÁFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLE La gráfica de una
Función de dos variables es el conjunto



Observe que el gráfico es un subconjunto de que tiene la forma de una superficie en el espacio. La proyección de la gráfica sobre el plano horizontal coincide con el dominio de la función








Ejemplo. Grafique lafunción . Nos damos cuenta que el dominio de la función está conformado por aquellos (x,y) tal que , o equivalentemente.Es decir el dominio es el círculo de radio 3 y centrado en el origen (incluido su frontera). Para esbozar el gráfico observamos que z es positiva y que debe verificar la igualdad . Solamente graficamos los z positivos, lo cual se reduciría a la semiesfera superior.Ejemplo. Grafique la función Observamos que el dominio es todo , además z siempre es positivo. Esta gráfica corresponde a un paraboloide









Ejemplo. Grafique la funciónPara representar la función se pone z en lugar de con lo que tendríamos z=3, que es la ecuación de un plano horizontal de 3











1.6 CURVAS DE NIVEL DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLESImaginemos que deseamos representar sobre un plano horizontal la topografía de una región. Para esto disponemos de observaciones de distintos puntos del terreno relativas a su altura sobre el nivel del mar. Se conoce además la posición geográfica (latitud, longitud) de cada punto. Podemos anotar esos niveles en un plano a escala y trazar posteriormente líneas que unen puntos que tienen el mismo...