Mate
Algebra Lineal
Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #8
Transformación lineal
Definición
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W (T: V→W) es una funcion que asigna a cada vector vV un vector unico T(v)W y que satisface:
A.1)
A.2)
Ejemplo:
T es un operador lineal
No se cumple el primer axioma, por lotanto T no es lineal.
Teorema:
Si T de V en W es una transformación lineal entonces:
* La imagen del cero vector de V es el cero vector de W.
Demostración:
* La imagen del inverso de X es el inverso de X.
Demostración:
* La transformada de la combinación lineal es la combinación lineal de la transformada.
Demostración:
Inducción matemática
P(n)
1.
2.
Suponer:P(K)1
Ojo: en la inducción matemática solo se trata naturales.
Nota: porque no me asegura que se cumpla esto.
Ejercicio:
Sea una transformación lineal tal que
Determine
Ubicamos las combinaciones lineales en una matriz para obtener los
Otra manera de llegar a la misma respuesta es la siguiente:
Núcleo o kernel de una transformación lineal
Definición: sea T de V en W unatransformación lineal entonces el núcleo de la transformación denotada por Nu(T) o Ker(T) se define como .
A la dimensión del núcleo de T se lo conoce como nulidad de T y se denota por .
Imagen o recorrido de una transformación
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el recorrido de la transformación denotada por Re(T) o Im(T) se lo define como .
A la dimensión dela imagen de T se lo conoce como rango de T y se denota por .
Teorema:
Sea T de V en W una transformación lineal entonces:
1. El núcleo de T es un subespacio de V.
Demostración:
1) V es un E.V.
2)
2. El recorrido de T es un subespacio de V.
1)
2)
Re(T) es un subespacio de V.
Ejercicio:
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de latransformación dada.
a)
Sea P(x)=ax2+bx+c
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.
b)
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.
c)
Representación matricial
Sea una transformación finita. Entonces existe una matriz única de mxn AT tal que T(x)=AT.x, x.
Dicha matriz se denomina, matriz deinformación correspondiente a T o representación matricial de T.
1)
Núcleo de la transformación=núcleo de la matriz asociada
Teorema:
Sea T de Rn en Rm una transformación lineal. Si AT es la matriz asociada a T, entonces:
Ejercicios:
Sea
;determine A(T), Nu(T), Im(T),, .
¿Como resolver el sistema?
Teorema:
Sea V un espacio vectorial de dimensión “n” y W un espacio vectorial dedimensión “m” y T:VW una transformación lineal sea: una base de V y una base de W, entonces existe una matriz única AT de mxn tal que:
Dicha matriz se denomina matriz asociada a la transformación con respecto a B1 y B2 y esta dada por:
Demostración:
Suponemos:
Ejercicio:
Determine la matriz asociada a la transformación:
Determine A(T) con respecto a:
Solución:
T:
Hallar A(T) conrespecto a:
a) base canónica
Solución:
*
*
*
Respuesta:
Sea
Determine:
Solución:
a)
b)
c)
Isomorfismo
Sea una transformación lineal, se dice que T es un isomorfismo si y solo si T es 1a1 y sobre.
Transformación invectiva(1a1):
Sea una transformación lineal se dice que T es 1a1 si y solo si el núcleo de T es igual
Transformaciónsobrejectiva(sobre):
Sea una transformación lineal. Se dice que T es sobrejectiva si para todo existe al menos un tal que .
Es decir T es sobrejectiva si y solo si la imagen de T=W.
Ejemplo:
Determine si la transformación dada es 1a1, sobre, o ambas.
Solución:
T es 1a1.
Teorema
Sea una transformación lineal, si:
Entonces:
1) si T es 1a1 entonces es sobre.
2) Si n es sobre...
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