mate

EJERCICIOS

1. Decidir, justificando adecuadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o
falsas:
a) ( Certamen de Recuperaci´on No2. 2004 )Si l´ım
n!1
an = 0 y {bn}1
n=m es acotada,
entonces l´ım
n!1
anbn = 0.
Soluci´on propuesta:
Hip´otesis:
{bn}1
n=m es acotada ) 9 M > 0 tal que|bn|  M.
l´ım
n!1
an = 0 ) Dado " > 0, 9 N 2 N tal que, si n  N, entonces |an| <
"
M
.
Tesis: l´ım
n!1
anbn = 0
En efecto, para el " > 0 dado en lahip´otesis, 9 N 2 N tal que, si
n  N ) |anbn| = |an||bn| <
"
M
M = ".
Por lo tanto, la afirmaci´on es verdadera 
b) ( Certamen No2. 2004 ) Si an =3n
n4 + 1
, entonces (an)n1 converge para todo
 2 R.
Soluci´on propuesta:
Para  = 5 se tiene que an =
3n5
n4 + 1
y
l´ım
n!1
an = l´ım
n!13n5
n4 + 1
= l´ım
n!1
n ·
3
1 +
1
n4
= +1, diverge.
Por lo tanto, la afirmaci´on es falsa 
c) ( Certamen No2. 2004 ) La sucesi´on (an)n1, cona1 = 1 y an+1 = an +
1
n
es
mon´otona creciente.
Soluci´on propuesta:
8 n  1: an+1 − an =
1
n
> 0 ) an < an+1.
Por lo tanto, la afirmaci´on esverdadera 
1
2. Evaluar los siguientes l´ımites de sucesiones:
a) ( Certamen No1. Segunda Parte. 2000 ) l´ım
n!1
n(n −
p
n2 − 9)
Soluci´on propuesta:l´ım
n!1
n(n −
p
n2 − 9) = l´ım
n!1
n(n −
p
n2 − 9)
n +
p
n2 − 9
n +
p
n2 − 9
= l´ım
n!1
n
n2 − (n2 − 9)
n +
p
n2 − 9
= l´ım
n!1
9nn +
p
n2 − 9
= l´ım
n!1
9n
n +
s
n2

1 −
9
n2
 = l´ım
n!1
9n
n + n
r
1 −
9
n2
= l´ım
n!1
9
1 +
r
1 −
9
n2
=
9
2