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“Volúmenes o sólidos de revolución”

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar untriángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Los sólidos en revolución son figuras que se forman al rotar un área planaalrededor de un eje en nuestro caso el eje (X y Y), para encontrar el volumen de dichos sólidos es necesario conocer la función de origen.
Existen 2 métodos para calcular el volumen en los sólidos derevolución: El método del DISCO y el las ARANDELAS y tomando en cuenta que ya tenemos la función de origen se realizan los siguientes pasos.
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que seaPERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.

2. Hallar: parael caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.

3. Establecer los límites de integración.

4. Por último integrar para hallar el volumendeseado.
Método del disco:
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. 







Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar unasuperficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución.




Ejemplo 1:
Hallar el volumen generado al hacer girar alrededor del eje  la superficie plana formada por  ;  ;  . Solución:
El rectángulo representativo de la superficie plana que servirá de muestra para encontrar el volumen buscado siempre es perpendicular al eje de giro, así que el volumen de este rectángulorepresentativo, que denotaremos por  estará dado por:

                                   
 
y la suma de los volúmenes de todos los cilindros que se obtienen al hacer girar todos los rectángulos...