Mate
Páginas: 5 (1057 palabras)
Publicado: 13 de septiembre de 2011
´ Mecanica
de
´ Solidos
y
AA 06/07
Sistemas
24-3-2007
Estructurales
Hoja informativa
Departamento de Estructuras de Edificaci´n o Escuela T´cnica Superior de de Arquitectura de Madrid e
Soluci´n gr´fica de ecuaciones lineales o a
[. . . ] si no puedo dibujarlo, no puedo entenderlo [. . . ] Atribuida a Albert Einstein
Pero, aunque menos frecuente, pueden escribirsetambi´n as´ e ı:
b1 a12 a11 y= x+ Si una se ha acostumbrado a los m´todos gr´ficos e a b2 a22 a21 de c´lculo, puede apenarse al toparse con problemas a que requieren la soluci´n de un conjunto de ecuaciones Pensando las matrices columna como vectores: o lineales. Pero, en realidad, para una o dos ecuaciones, A1 x + A2 y = B (3) puede continuarse, si se desea, con la escuadra y el cartab´n. o y pensandolos vectores como fuerzas, la expresi´n ano terior puede leerse como la descomposici´n de la fuerza o B en sus dos componentes con la m´trica y las direce o Una ecuaci´n ciones de A1 y A2 respectivamente. O, de otra forma, La ecuaci´n o x e y son los escalares por los que hay que multipli(1) car las fuerzas A1 y A2 para que sumen B. Es decir, ax = b determinar x e y debe poder hacerse con un pol´ıgono tiene una soluci´n tan simple (x = b ÷ a) que no meo vectorial. rece la pena plantearse siquiera c´mo resolverla gr´fio a Veamos un ejemplo: camente. Pero puede servir para mejor comprender la naturaleza de otros procedimientos gr´ficos. a 42,3 kN/mm·δ + 21,2 mkN/mm·θ = 50 kN 21,2 mkN/mm·δ + 187 mkN·m/mm·θ
Soluci´n de 7x = 5 o B b=5 A x = 0,71 O X 1 a=7
= 0 mkN
Los segmentos OA y OB setrazan con cualquier orientaci´n, iguales a la escala elegida a los valores de o a y b. A esa escala, se marca una unidad de longitud en OA, y por ese punto se traza una paralela a AB; la intersecci´n de esta ultima con OB determina X. x es o ´ igual a la medida de OX a la escala elegida. Para la precisi´n, debe procurarse elegir inclinacioo nes tales que el angulo OBA sea cercano a 90o —ni ´ muyagudo ni muy obtuso.
Se trata de ecuaciones t´ ıpicas que resultan de utilizar el m´todo universal de an´lisis de estructuras (en este e a caso, con dos grados de libertad, δ y θ, y las correspondientes ecuaciones de equilibrio, una de fuerzas y otra de momentos). Para su soluci´n gr´fica olvidemos moment´neao a a mente las unidades de cada n´mero y pensemos en ellos u como simples longitudes.A cierta escala se dibujan los vectores B, A1 y A2 , estos ultimos arrancando de cada ´ uno de los extremos de B, v´ase la Figura 1. La ine tersecci´n de las direcciones de A1 y A2 determina el o punto X. La ecuaci´n (3) se verifica entonces como o OX + XB = OB La soluci´n de las ecuaciones es: o x= |OX| |A 1 | y=− |XB| |A 2 |
Dos ecuaciones
Las ecuaciones: a11 x + a12 y a21 x + a22 y = b1 = b2se expresan frecuentemente en forma matricial: a11 a21 a12 a22 x y = b1 b2
midi´ndose a escala las cuatro longitudes en el dibujo. e El signo negativo de y corresponde a que A2 y XB tienen sentidos opuestos. Si no se desea desenfundar la calculadora ni siquiera para realizar estas dos divisiones, basta aplicar el m´todo para ‘‘una ecuaci´n’’, tal y como se coment´ e o o en el apartadoanterior. En tal caso, los valores absolutos de x e y se miden directamente con las escalas que se elijan —que pueden (y probablemente deben) ser distintas a la primera escala utilizada. Las unidades se deducen de la coherencia dimensional de las ecuaciones originales: δ = 1,25 mm θ = −0,14 mm/m
que en forma compacta se reduce a: Ax = b (2)
Las ecuaciones (2) tienen soluci´n unica si y s´lo o ´ osi el determinante de la matriz A es distinto de cero (s´lo entonces es posible invertirla). La correspondiente o
21,2
Escalas 1:2000 para B, A1 , A2 1:40 para el c´lculo de x a 1:10 para el c´lculo de y a
A2 1
187
x = 1,25 X 1 21,2 O B A1 B y = −0,14 Ecuaciones: 42,3 kN/mm·δ + 21,2 mkN/mm·θ 50 21,2 mkN/mm·δ + 187 mkN·m/mm·θ = = 50 kN 0 mkN
Figura 1.
A a Copyleft c 2007,...
de
´ Solidos
y
AA 06/07
Sistemas
24-3-2007
Estructurales
Hoja informativa
Departamento de Estructuras de Edificaci´n o Escuela T´cnica Superior de de Arquitectura de Madrid e
Soluci´n gr´fica de ecuaciones lineales o a
[. . . ] si no puedo dibujarlo, no puedo entenderlo [. . . ] Atribuida a Albert Einstein
Pero, aunque menos frecuente, pueden escribirsetambi´n as´ e ı:
b1 a12 a11 y= x+ Si una se ha acostumbrado a los m´todos gr´ficos e a b2 a22 a21 de c´lculo, puede apenarse al toparse con problemas a que requieren la soluci´n de un conjunto de ecuaciones Pensando las matrices columna como vectores: o lineales. Pero, en realidad, para una o dos ecuaciones, A1 x + A2 y = B (3) puede continuarse, si se desea, con la escuadra y el cartab´n. o y pensandolos vectores como fuerzas, la expresi´n ano terior puede leerse como la descomposici´n de la fuerza o B en sus dos componentes con la m´trica y las direce o Una ecuaci´n ciones de A1 y A2 respectivamente. O, de otra forma, La ecuaci´n o x e y son los escalares por los que hay que multipli(1) car las fuerzas A1 y A2 para que sumen B. Es decir, ax = b determinar x e y debe poder hacerse con un pol´ıgono tiene una soluci´n tan simple (x = b ÷ a) que no meo vectorial. rece la pena plantearse siquiera c´mo resolverla gr´fio a Veamos un ejemplo: camente. Pero puede servir para mejor comprender la naturaleza de otros procedimientos gr´ficos. a 42,3 kN/mm·δ + 21,2 mkN/mm·θ = 50 kN 21,2 mkN/mm·δ + 187 mkN·m/mm·θ
Soluci´n de 7x = 5 o B b=5 A x = 0,71 O X 1 a=7
= 0 mkN
Los segmentos OA y OB setrazan con cualquier orientaci´n, iguales a la escala elegida a los valores de o a y b. A esa escala, se marca una unidad de longitud en OA, y por ese punto se traza una paralela a AB; la intersecci´n de esta ultima con OB determina X. x es o ´ igual a la medida de OX a la escala elegida. Para la precisi´n, debe procurarse elegir inclinacioo nes tales que el angulo OBA sea cercano a 90o —ni ´ muyagudo ni muy obtuso.
Se trata de ecuaciones t´ ıpicas que resultan de utilizar el m´todo universal de an´lisis de estructuras (en este e a caso, con dos grados de libertad, δ y θ, y las correspondientes ecuaciones de equilibrio, una de fuerzas y otra de momentos). Para su soluci´n gr´fica olvidemos moment´neao a a mente las unidades de cada n´mero y pensemos en ellos u como simples longitudes.A cierta escala se dibujan los vectores B, A1 y A2 , estos ultimos arrancando de cada ´ uno de los extremos de B, v´ase la Figura 1. La ine tersecci´n de las direcciones de A1 y A2 determina el o punto X. La ecuaci´n (3) se verifica entonces como o OX + XB = OB La soluci´n de las ecuaciones es: o x= |OX| |A 1 | y=− |XB| |A 2 |
Dos ecuaciones
Las ecuaciones: a11 x + a12 y a21 x + a22 y = b1 = b2se expresan frecuentemente en forma matricial: a11 a21 a12 a22 x y = b1 b2
midi´ndose a escala las cuatro longitudes en el dibujo. e El signo negativo de y corresponde a que A2 y XB tienen sentidos opuestos. Si no se desea desenfundar la calculadora ni siquiera para realizar estas dos divisiones, basta aplicar el m´todo para ‘‘una ecuaci´n’’, tal y como se coment´ e o o en el apartadoanterior. En tal caso, los valores absolutos de x e y se miden directamente con las escalas que se elijan —que pueden (y probablemente deben) ser distintas a la primera escala utilizada. Las unidades se deducen de la coherencia dimensional de las ecuaciones originales: δ = 1,25 mm θ = −0,14 mm/m
que en forma compacta se reduce a: Ax = b (2)
Las ecuaciones (2) tienen soluci´n unica si y s´lo o ´ osi el determinante de la matriz A es distinto de cero (s´lo entonces es posible invertirla). La correspondiente o
21,2
Escalas 1:2000 para B, A1 , A2 1:40 para el c´lculo de x a 1:10 para el c´lculo de y a
A2 1
187
x = 1,25 X 1 21,2 O B A1 B y = −0,14 Ecuaciones: 42,3 kN/mm·δ + 21,2 mkN/mm·θ 50 21,2 mkN/mm·δ + 187 mkN·m/mm·θ = = 50 kN 0 mkN
Figura 1.
A a Copyleft c 2007,...
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