mate

6. CAMPOS VECTORIALES
En este cap´
ıtulo consideraremos funciones vectoriales F : U ⊆ Rn → Rn . En
particular, el dominio y el rango est´n en un espacio de la misma dimensi´n.
a
o
Ejemplo. Si f : Rn → R,

f es un campo vectorial.

Este objeto matem´tico se denomina un campo vectorial cuando es intera
pretado en el contexto en lo vamos a hacer ahora. En din´mica de flu´
a
ıdos o gases,el campo vectorial representa en cada punto la velocidad del l´
ıquido o gas en ese
punto -en este caso suponemos que tenemos un fluido que se mueve en el espacio
U . El campo vectorial puede cambiar con el tiempo, pero en este caso necesitaremos una funci´n F(x,t). F tambi´n puede representar un campo de fuerzas, como
o
e
el campo gravitatorio, en cada punto x ∈U se ejerce la acci´n de unafuerza F(x)
o
(con magnitud, direcci´n y sentido).
o
De hecho, ya hemos encontrado estas funciones en el contexto diferente de cambio de coordenadas y no las hemos llamado campos vectoriales. Es precisamente
en la interpretaci´n que daremos ahora cuando hablamos de campos vectoriales.
o
Podemos interpretar que en cada punto x ∈U , paramos el vector F(x), esto
es, consideramos a F(x)basado en x. En dimensi´n 2, o en dimensi´n 3 con mayor
o
o
esfuerzo, se puede visualizar esta interpretaci´n (ver figuras 0-1, 0-2 y 0-3).
o
El gradiente es un campo vectorial, pero no todos los campos vectoriales son
gradientes por supuesto. El campo
F(x, y) = −y i+x j
no puede ser un gradiente y tenemos la intuici´n de esto gr´ficamente.Ver figuras
o
a
0-2 y 0-4.

6.1. L´
ıneas de flujoSi interpretamos a F como un campo de velocidades, la part´
ıcula en el punto
x se mueve siguiendo una curva que respeta el campo de velocidades.Esta curva
es una l´
ınea de flujo. M´s precisamente:
a
Definici´n. Una curva x(t) es una l´
o
ınea de flujo de F sii
x (t) = F(x(t))
Esto es, en cada punto x(t) de la curva, la derivada de la curva es precisamente
el vector asignado por F en dichopunto.
Las figuras 0-5 y 0-6 muestran l´
ıneas de flujo.

CAMPOS VECTORIALES

1

Figura 6-1

Figura 6-2
6.1.1.

Campo gradiente.

Campo no gradiente.

Movimiento uniforme a velocidad constante

Sea F :Rn → Rn un campo vectorial constante, es decir, F(x) = v, v ∈Rn .
Entonces las lineas de flujo son las rectas
2

CAMPOS VECTORIALES

x(t) = xc + tv

Figura 6-3

Campogravitatorio.

donde xc es un vector constante arbitrario que se llama condici´n inicial (porque
o
x(0) = xc ). Para enfatizar la dependencia de la condici´n inicial se suele escribir
o
x(t; xc ) = xc + tv
Ponemos punto y coma porque xc no es una variable para la curva, sino una
condici´n inicial.
o
Si ahora fijamos alg´n t, la funci´n φt : Rn → Rn
u
o
φt (xc ) = x(t; xc )
representa elmovimiento de los puntos que hemos llamado condiciones iniciales
en el instante t. Es por esto que la funci´n φ : Rn × R → Rn definida por
o
φ(xc , t) = x(t; xc )
se llama el flujo del campo vectorial F.
Infelizmente, en la mayor parte de los ejemplos interesantes de campos vectoriales, el flujo del campo no se obtiene as´ de f´cil y es necesario recurrir al an´lisis
ı
a
a
num´rico. Estetema se llama resoluci´n num´rica de Ecuaciones Diferenciales
e
o
e
Ordinarias.
L´
INEAS DE FLUJO

3

Figura 6-4

Campo no gradiente.

2

1.5

1

y

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2
−2

−1.5

−1

Figura 6-5

6.1.2.
4

−0.5

0
x

0.5

1

1.5

2

L´
ıneas de flujo de (−y, x).

Ecuaciones diferenciales ordinarias
CAMPOS VECTORIALES

5
4.5
43.5

55
50

80

45

85
90

40

95
100

35

105
110

30
115

25

120
125
130

Figura 6-6

20

L´
ıneas de flujo: simulaci´n de un remolino.
o

La ecuaci´n
o
x = F(x)
es una ecuaci´n diferencial ordinaria (EDO). Lo que se busca son funciones de
o
una sola variable x(t) (aunque el rango de la funci´n est´ eventualmente en un
o
a
espacio de dimensi´n...