Mate

Suma de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntosfinales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cadasubintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.En matemáticas, la suma de Riemann es un método deintegración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental delCálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcularel área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
DefiniciónConsideremos lo siguiente:

* una función
donde D es un subconjunto de los números reales
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ...xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma deRiemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma deRiemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoida