Mate

11/04/2012

Objetivo del capítulo

1. La integral Indefinida
Lic. Oscar Adrian Zapillado Huanco 2012 - I

Distinguir a la diferencial como una función de dos variables, a la integral indefinida como una familia de funciones antiderivadas, a la integral definida como un número, resultado del límite de una suma infinita de términos y a la función integral como un proceso de acumulación; lascuatro vinculadas a través del teorema fundamental del cálculo, que explica por qué la integral definida requiere del cálculo de antiderivadas y por qué el problema de la recta tangente es el inverso del problema del área, y se resuelven por medio de procesos inversos, la derivación y la integración; realizar procedimientos diversos de ajuste del integrando para calcular su primitiva; y evaluarintegrales definidas aplicando la regla de Barrow.

Contenido del capítulo 1.1 La integral indefinida
1. La integral indefinida 2. El problema del área 3. La integral definida 4. Teorema fundamental del cálculo 5. La diferencial 6. Cálculo de primitivas directas y evaluación de

integrales

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Objetivos del tema
Distinción de la integral indefinida como una familia defunciones antiderivadas. Reconocimiento de las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración. Reconocimiento de la diferencial de la función como integrando. Cálculo de integrales de funciones polinómicas y formulas básicas de integración.

Contenido del tema
Antiderivadas o primitivas. Funciones con la misma derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular. Integralindefinida. Definiciones de integral indefinida. Derivación e integración como operaciones inversas. Elementos de la integral indefinida. Propiedades de linealidad de la integral indefinida. Las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración. Regla de las potencias. Regla generalizada de las potencias. Reglas de integración de funciones trigonométricas. La diferencial de la función comointegrando. Cálculo de integrales de funciones polinómicas y formulas básicas.

Adivinanza
x 3 4 8 5 3 6 9 8 5 7 8 9 x2 3 x + c x2 + 3 x3 + 4 x2 3x 2 x2 + 4 2x operación adición adición sustracción sustracción multiplicación multiplicación división división potencia potencia raíz raíz derivada derivada derivada derivada integral integral integral integral y 4 8 3 3 9 5 3 4 2 3 3 2 resultado 7 125 2 27 30 3 2 25 343 2 3 2x 3x 2 2x 3x 2 3 x /3 + c x3 + 8 3 x /3 + 4x + c x2

Adición - sustracción
10

f(x) = x+2

9

8

7

y = x +2
6 5 4 3

4

x = y −2
2 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -1

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Multiplicación - división
f(x) = 2⋅x
12

Potenciación – radicación
100

f(x) = x2

90

10

80
8

y = 2x
6 4 2 -15 -10 -5 5 10 15

y = x2
70 60 50 40x=y/2
-2 -4 -6 -8

x= y
30 20 10 -15 -10 -5 5 10 15

Operaciones matemáticas inversas
De la misma manera que la sustracción es la operación inversa de la adición, la división es la operación inversa de la multiplicación y la extracción de raíces es la operación inversa de la exponenciación, así la operación antiderivación es la operación inversa de la derivación.

Operaciones matemáticasinversas
Adición Multiplicación Potenciación Integración Sustracción División Radicación Derivación

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Primitiva

Antiderivadas o primitivas
Si la derivada de F es igual a f en el intervalo I:
Dx F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈I

entonces F es una antiderivada o primitiva de f en el intervalo I : Ax f ( x ) = F ( x ) , ∀x ∈I Por ejemplo: F ( x ) = x 3 , Dx ( x 3 ) = 3 x 2 , ∀x ∈R ⇒ f ( x ) = 3 x 2 , Ax ( 3 x 2 ) = x 3 , ∀x ∈ R y se dice que x 3 es una antiderivada o primitiva de 3x 2 en todo el dominio de x.

Antiderivadas o primitivas
Encontrar una primitiva para las siguientes funciones:
a) f ( x ) = 2x . b) f ( x ) = cos x . c) f ( x ) = .

Función primitiva – función derivada
f(x) = x2 f'(x) = 2⋅x
90 80

70

x2
60

sen x
− 1 x

50

40

1 x2...