mate

ALGEBRA

AXIOMAS DE NUMEROS REALES
TEORIA DE EXPONENTES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES
EXPONENCIALES
AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES

M 3:

El sistema de los números reales es un
conjunto no vacío denotado por ℜ con
dos operaciones internas llamadas:
1) Adición (+) :
Ψ (a,b) = a+b
2) Multiplicación (.) : Ψ (a,b) = a.b
y una relación de orden “

Ejercicio Nº 1.- Dado elcociente
notable
(x 2 ) 3n + 21 - (y 4 )3n + 6

= k

47
5

k > 9,4
Dado que:

k ≤ 15 ;

entonces:

x n + 1 + y 2n - 3

determine el número de términos que
tiene su desarrollo.

K = 10, 11, 12, 13, 14, 15
∴el número de término fraccionarios es
6.

FACTORIZACIÓN

Número de factores primos.- Es la
cantidad de factores no repetidos que
tiene el polinomio, dependiendo sobreque campo numérico se factorice.
Ejemplo
a) P(x) = x4 – 36 ≡ (x2 + 6) (x2 –6)
⇒ P (x) tiene 2 factores primos en Q
b) P(x)=x4 – 36 ≡ (x2 + 6) (x + 6 )
(x - 6 )

La factorización
es un proceso
contrario a la multiplicación, el cual no
está sujeta a reglas específicas; su
operación depende de la práctica
adquirida.
En
esencia
es
la
transformación de un polinomio en un
productoindicado de factores primos,
dentro de un determinado campo
numérico.

⇒ P (x) tiene 3 factores primos en R
c) P(x)=x4 – 36 ≡ (x + i 6 ) ((x - i 6 )
(x+ 6 ) (x - 6 )

Un polinomio está definido sobre un
campo
numérico,
cuando
los
coeficientes
de
dichos
polinomios
pertenecen
al
conjunto
numérico
asociado a dicho campo.
Hay tres
campos de importancia:
Racional : Q ; Real : R;Complejo : C
Ejemplo:
i)
P (x) = 2 x2 – 7x + 3 , está
definido en Q , R y C

⇒ P (x) tiene 4 factores primos en C

FACTORIZACIÓN EN Q

om

.c

a1

Q (x) = 2 x5 + 3 x - 3 , está
definido en R y C, pero no en Q.

iii)

R (x) = x3 – i x + 2 i – 3; esta

w
w

.M

at

em

at

ic

ii)

−1)

w

definición solo en C .... (i =

Factor ó Divisor.- Es un polinomio degrado distinto de cero que divide
exactamente a otro.
Factor Primo.- Es un polinomio sobre
un campo numérico el cual no se puede
transformar en el producto de dos
polinomios sobre el mismo campo
numérico.
Ejemplo #1 .P (x) = x2 – 25
No es primo en Q, ni en R; ni en C, ya
que se puede expresar como
P (x) = (x + 5) (x – 5).
Ejemplo # 2.- Z(x) = x2 – 7
Es primo en Q, pero no en R ni en C,dado que Z (x) = (x + 7 ) (x - 7 )
Ejemplo # 3 .- R(x) = x2 + 16
Es primo en Q y en R pero no es primo
en C, ya que
R(x) = (x + 4i) (x – 4 i)

Método del Factor Común.- El
factor común está contenido en
todos los términos de la expresión
algebraica a factorizar, con el menor
exponente; puede ser monómico o
polinómico.
Ejemplo # 1: Factorizar:
f = 2x4 y3 + 2x4 z2 + 2x4
Solución:
Elfactor común es: 2x4; de donde
f = 2x4 (y3 + z2 + 1) Rpta.
Ejemplo # 2: Factorizar:
f = (a2 + b) x + (a2 + b) y + (a2 + b) z
Solución:
El factor común en este caso es: (a2 + b);
de donde

I.

f = (a2 + b) (x + y + z)

Rpta.

Factorización por agrupación
de términos
Consiste en agrupar convenientemente
de forma que se tenga factor comunes
polinómicos.
Ejemplo # 1: Factorizar
f =(a x + by) 2 + (ay – bx) 2

II.

Solución:
Desarrollando por productos notables.
a2 x2 + 2ab x y + b2 y2 + a2 y2 –
f=

x4

- 2 ab xy + b2 x2
Simplificando:
f = a2 x2 + b2 y2 + a2 y2 + b2 x2
agrupando el primero con el tercero y
el segundo con el cuarto, se tiene:
f = (a2 x2 + a2 y2) + (b2 y2 + b2 x2)
f = a2 (x2 + y2) + b2 (x2 + y2)

∴f = (a2 + b2) (x2 + y2)

suma x DifEjemplo # 2.- Factorizar

Rpta.

f = (a + b)7 + c3 (a + b)4 – c4 (a + b)3 – c7

Solución:
Haciendo: (a + b) = x; se tendría:
f = x7 + c3 x4 – c4 x3 – c7

DIFERENCIA DE CUADRADOS
Para factorizar se extrae la raíz
cuadrada
de
los
cuadrados
perfectos y se forman un producto
de la suma de las raíces,
multiplicadas por la diferencia de
las mismas. En general.
2m
f = a – b2n = (am +...