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Tema 3. Distribuciones conjuntas
Guadalupe Carrasco Licea

Septiembre de 2013

Introducción
Vamos a generalizar lo estudiado en el curso de probabilidad 1 para una variable aleatoria
a vectores aleatorios X = (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) formados por n variables aleatorias, es decir, X es
una función del espacio muestral en Rn de manera que X (!) = (X1 (!) ; X2 (!) ; : : : ; Xn (!))
midesimultáneamente n características numéricas de cada evento elemental !:
Antes de ver las de…niciones formales pensemos cómo sería natural extender las de…niciones
de funciones de distribución y funciones de densidad a dos variables aleatorias, es decir,
consideremos un vector aleatorio (X; Y ) : La idea de función de distribución aplicada ahora
a un vector así, conduce a algo del tipo:
x] \ [YFXY (x; y) = P ([X

y]) := P [X

x; Y

y] :

A esta función la llamaremos función de distribución conjunta. Si las dos variables aleatorias
son discretas, (es decir, si pueden tomar a lo más un numero numerable de valores con
probabilidad positiva) también resulta natural de…nir una función de densidad conjunta de
la siguiente forma: conjunta dada por
fXY (x; y) = P ([X = x] \ [Y =y]) := P [X = x; Y = y] :
Vemos algunos ejemplos.
Ejemplo 0.1 Se lanzan dos tetraedros con caras numeradas del 1 al 4. La cara que cae
hacia abajo es el resultado del lanzamiento. Sea X la variable aleatoria que indica el número
obtenido en el primer tetraedro y Y la que indica el máximo de las dos caras obtenidas. El
espacio muestral del experimento es:
8
9
> (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) >>
>
<
=
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4)
=
> (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) >
>
>
:
;
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4)

donde cada número es el resultado de cada uno de los dos tetraedros. De acuerdo a las
de…niciones de las variables aleatorias, ambas toman los valores 1; 2; 3 y 4; además si X = j
entonces Y
j; así que las parejas de valores que puede tomar el vector aleatorio (X; Y )
(conprobabilidad > 0) sólo pueden ser parejas (x; y) donde x y:
Como se trata de dos variables aleatorias que son discretas, podemos calcular las densidades
conjuntas:
(x; y)
resultados de
P [X = x; Y = y]

(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4)
(2; 2)
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (2; 1) ; (2; 2)
1
16

1
16

1

1
16

1
16

2
16

(x; y)
resultados de
P [X = x; Y = y]

(2; 3) (2; 4)(3; 3)
(3; 4)
(4; 4)
(2; 3) (2; 4) (3; 1) ; (3; 2) ; (3; 3) (3; 4) (4; 1) : : : (4; 4)
1
16

1
16

3
16

1
16

4
16

3
1
de manera que, por ejemplo, fXY (3; 3) = 16 ; fXY (2; 3) = 16 y la probabilidad P [2
6
:
16
Para calcular la distribución conjunta llenemos la siguiente tabla:

y 0: Ahora supongamos que todos son positivos. Como FXY (x; y) depende de si x
y
o x < yes necesario considerar las relaciones de orden entre x1 ; x2 ; y1 ; y2 : Por ejemplo,
supongamos que y1 = x1 < y2 x2 : En tal caso
(x1 ; x2 ; y1 ; y2 ) =
(1 + y2 ) e
= e x1 e y2
ya que la exponencial es siempre positiva,
los otros casos.
b) La distribuciones marginales son
FX (x) =
=

0
1

e

x

+e
(y2

x1

+ x 1 e y2
x1 ) e y2 > 0;

> 0 y y2 x1 > 0: De manera análoga seanalizan

0
1

lim FXY (x; y) =

y!1

y2

e

x

limy!1 xe

y

si x 0
si x > 0

si x 0
si x > 0

y
FY (y) =
=

0
limx!1 1

lim FXY (x; y) =

x!1

0
1

(1 + y) e

y

(1 + y) e

y

si y 0
si y > 0

si y 0
si y > 0

c)
P [1 < X

3; 2 < Y

3] = FXY (3; 3) FXY (1; 3) FXY (3; 2) + FXY (1; 2)
= 1+
(1 + 2 ) e
e 2 :
7

Como en el caso de unavariable aleatoria, hay dos tipos de vectores aleatorios para los cuales
podemos de…nir otra función que da información sobre su comportamiento probabilístico,
llamadas funciones de densidad conjuntas. Estos tipos de vectores aleatorios son los discretos
y los absolutamente continuos, que analizaremos a continuación.

Vectores aleatorios discretos
En el caso de una sola variable aleatoria...