Mate

1.- Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
a) Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.
b) Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.
El lugar geométrico, o grafica, de una ecuación de dos variables es una línea (recta o curva) que contiene todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuacióndada.
Antes de representar gráficamente el lugar geométrico que corresponde a una ecuación dada, es muy conveniente, para determinar su forma, conocer algunas propiedades del lugar en cuestión, por ejemplo, intersecciones con los ejes, simetrías, campos de variación de las variables, etc.
Ecuación en un lugar geométrico
Hallar la ecuación de la recta que sea:
a) Paralela al eje Y y que corteal eje X cinco unidades a la izquierda del origen.
b) Paralela al eje X y que corte al eje Y siete unidades por encima del origen.
c) Paralela y a la derecha de la recta X+4=0 y que diste de ella 10 unidades.
d) Paralela y por debajo de la recta Y=2 y que diste de ella 5 unidades.
e) Paralela a la recta Y+8=0 y que diste 6 unidades del punto (2,1)
f) Perpendicular a la recta Y-2=0 y que diste4 unidades del punto (-1,7)
Solución:
a) X=-5, es decir, X+5=0. Esta es la ecuación de la recta que es paralela al eje Y y que esta situada 5 unidades a su izquierda.
b) Y=7, es decir, X=6. Esta es la ecuación de la recta que es paralela al eje X y que esta situada 7 unidades por encima del origen.
c) X=-4+10, es decir, X=6. Esta es la ecuación de la recta situada 10 unidades a la derecha dela recta X+4=0. Es paralela al eje X y esta a 3 unidades a su derecha.
d) Y=2-5, es decir, Y=3. Esta es la ecuación de la recta situada 5 unidades por debajo de la recta Y-2=0. Es paralela al eje X y esta a 3 unidades por debajo de el.
e) Como la recta Y+8=0 es paralela al eje X, las dos rectas pedidas también lo serán y estarán situadas 6 unidades por debajo y por encima, respectivamente, de larecta Y=1. Luego Y=1+-6, es decir, Y=7 e Y=-5.
f) Como la recta Y-2=0 es paralela al eje X, las dos rectas pedidas también lo serán y estarán 4 unidades de la derecha o a la izquierda de la recta X=-1. Luego X=-1+-4, es decir, X=3 y X=-5.





Para definir una curva sobre el plano es necesario establecer las condiciones para que todos los puntos que las cumplan determinen esa curva. Porejemplo, definimos las circunferencias mediante la condición de que todos los puntos deben estar a la misma distancia de un punto fijo, esto es, el centro de la circunferencia. En este caso, se dice que la curva esta definida como lugar geométrico, es decir, por medio de la condición que cumplen todos los puntos.



Por definición, el lugar geométrico es una curva:
El lugar geométrico (ografica) de una ecuación de dos variables es la curva (que incluye líneas rectas) que contiene todos los puntos (y no otros) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
Nota: Por “satisfacer” queremos decir, como en el algebra, que las coordenadas reducen la ecuación a una identidad (es decir, una ecuación que tiene el mismo valor ambos lados del signo igual)
Como esta definición es correcta, esigualmente correcto y útil considerar una curva como la trayectoria trazada por un punto móvil y podemos definir el lugar geométrico de una ecuación como sigue:
-Si un punto variable P(x,y) se mueve en tal forma que sus coordenadas deban siempre cumplir con una ecuación dada, la curva trazada por P se denomina lugar geométrico de la ecuación: en otras palabras, la curva es el lugar geométrico , oposición, de todos los puntos (y no de otros) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
La ecuación de un lugar geométrico es aquella que satisface las propiedades geométricas bajo las cuales un punto P(x,y) se mueven al trazar un lugar geométrico: es decir, una ecuación que satisface, en función de x y de y, todas las coordenadas de todos los puntos (y no otros), sobre una curva dada.
Pasos:
1.-...