Mate

Algebra.
07 de Mayo del 2012
Profesor: Gijsbertus van der Veer

Certamen I: Ecuaciones Diferenciales de I Orden
1. Simplificar hasta la expresi´n m´
o
ınima:
a)
x+

1
x+

1
1
x+ x+1Soluci´n:
o

Reescribimos:
x+

x+

1
x3 +x2 +2x+1
x2 +x+1

1
x+

1
1
x+ x+1

=x+

=x+

1
x+

1
x2 +x+1
x+1

=x+

1
x+

x+1
x2 +x+1

=

x2 + x + 1
x4 + x 3 + 3x2 + 2 x + 1
=
.
x3 + x2 + 2 x + 1
x3 + x2 + 2 x + 1

(1)

b)
a4 (ab)−3 · 5000 · (x4 + 5x3 + 4x2 ) · c3
.
x3 (bc)−4 (x + 4) · 24 · 56
Soluci´n:
o

Factorizamos:
a4 (ab)−3 · 5000 · (x4+ 5x3 + 4x2 ) · c3
a4 (ab)−3 · 5000 · x2 (x + 1)(x + 4) · c3
=
.
x3 (bc)−4 (x + 4) · 24 · 56
x3 (bc)−4 (x + 4) · 24 · 56

(2)

Reescribimos:
a4 (ab)−3 · 5000 · x2 (x + 1)(x + 4) · c3
a4a−3 b−3 c3 · 5000 · x2 (x + 1)(x + 4)
=
=
x3 (bc)−4 (x + 4) · 24 · 56
x3 b−4 c−4 (x + 4) · 24 · 56
a4 b4 c4 · c3 · 23 · 54 · x2 (x + 1)(x + 4)
abc7 (x + 1)
abc7 (x + 1)
=
=
.
x3 a3 b3 (x + 4) ·24 · 56
2 · 52 · x
50x

(3)

2. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
a)
2x−1 = 32−3x
Soluci´n:
o

T´mese el logaritmo con base 10 de ambos lados:
o
log(2x−1 ) = log(32−3x)

(4)

Aplicamos la propiedad de multiplicaci´n por logaritmos:
o
(x − 1) log 2 = (2 − 3x) log 3.

(5)

(x − 1) log 2 = (2 − 3x) log 3.

(6)

x(log 2 + 3 log 3) = log 2 + 2 log 3.(7)

Expandimos:

Factorizamos:

Por tanto:
x=

log 2 + 2 log 3
.
log 2 + 3 log 3

(8)

b)
x4 − 10x2 + 9 = 0
Soluci´n:
o

Se factoriza:
(x2 − 1)(x2 − 9) = 0.

(9)

x2 = 1 ∨ x2= 9.

(10)

x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = 3.

(11)

Las soluciones son:

o bien:

c)
|2x − 3| < x + 4
Soluci´n:
o

Seg´n la definici´n del valor absoluto resolvemos:
u
o
1)
−(2x −3) < x + 4.

(12)

2x − 3 > −x − 4.

(13)

Eso es:

o bien, restando −x − 3 de ambos lados:
3x > −1.

(14)

1
x>− .
3

(15)

2x − 3 < x + 4.

(16)

Finalmente:

2)...