mate

Universidad del Norte
Facultad de Ciencias B´sicas
a
Departamento de Matem´ticas
a
Ejercicios examen final
Profesor Coordinador C´lculo I: Dr. Javier de la Cruz
a
1. Una escalera de 10 metros de longitud sobre un piso horizontal est´ recostada
a
contra una pared vertical. Su pi´ resbala a velocidad constante de 2 metros
e
por segundo alej´ndose de la pared.
a
a)¿A qu´ velocidad bajala parte superior de la escalera cuando el pi´ dista
e
e
4 metros de la pared?
b) ¿ A qu´ velocidad var´ en ese mismo instante el ´ngulo de la escalera con
e
ıa
a
la horizontal?
c) ¿En qu´ momento los dos extremos se mueven a la misma velocidad?
e
Respuesta: a) -0.87 m/s b) -12,5 grados/s c) cuando la escalera forme un
a
´ngulo con la horizontal de 45◦ .
2. Un hombre de 6 pies dealtura camina a 5 pies por segundo alej´ndose de
a
una luz que est´ a 15 pies de altura sobre el suelo. Cuando este hombre est´
a
a
a 10 pies de la base de la luz:
a) ¿ a qu´ velocidad se mueve el extremo de su sombra?
e
b ¿ a qu´ raz´n est´ cambiando la longitud de su sombra?
e
o
a
Respuesta: a)25/3 pies/s b) 10/3 pies/s.
3. Repetir el ejercicio anterior, suponiendo ahora que el hombrecamina hacia
la luz y que ´sta se encuentra situada a 20 pies de altura.
e
4. Dos lados de un tri´ngulo miden 15 y 20 pies de largo respectivamente. Qu´
a
e
tan r´pido aumenta el tercer lado cuando el ´ngulo θ entre los lados dados
a
a
es de 60◦ y ´ste se incrementa a raz´n de 2◦ por segundo?
e
o
π
√
Respuesta: 39 pie/s.
5. Un barco navega a la velocidad de 10 mill/h desde su puntode partidad
hacia el norte durante 1 hora, despu´s cruza hacia el este-sur en un ´ngulo
e
a
◦.
de 30
a) ¿ A qu´ velocidad se aleja de su punto de partidad despu´s de 3 horas?
e
e
b) ¿En qu´ momento est´ lo m´s cerca de su punto de partida?
e
a
a
6. Un hombre se aleja de una prisi´n a la velocidad de 6 pies/s respecto a la
o
base de una torre. Un guardi´n situado en la parte superiorde la torre de
a
60 pies de altura apunta al hombre con el fusil.

1

a) ¿ A qu´ velocidad var´ el ´ngulo entre la linea de tiro y la horizontal
e
ıa
a
cuando el hombre dista 80 pies de la base de la torre?
b) ¿ A qu´ velocidad se aleja el hombre del guardi´n?
e
a
Respuesta: a) El ´ngulo de tiro disminuye a 2,06 grados por segundo b) 4,8
a
pie/s.
7. Un avi´n vuela a 5 millas dealtitud y a una velocidad de 600 millas por
o
hora, hacia un punto situado exactamente en la vertical de un observador. ¿
A qu´ ritmo est´ cambiando el ´ngulo de elvaci´n θ cuando el ´ngulo es a)
e
a
a
o
a
◦ , b) θ = 60◦ y c) θ = 75◦ ?
θ = 30
8. Un controlador a´reo detecta que dos aviones que vuelan a la misma altura
e
tienen trayectorias perpendiculares y convergen en un mismopunto. Uno de
ellos est´ a 225 millas de dicho punto y vuela a 450 millas por hora. El otro
a
est´ a 300 millas y se desplaza a 600 millas/h.
a
a) ¿ A qu´ ritmo se reduce la distancia entre ellos ?
e
b) ¿ De cu´nto tiempo dispone el controlador para modificar la ruta de alguno
a
de ellos?
Respuesta: a) -750 mill/h b) 30 min.
9. Un avi´n vuela a 5 millas de altura y pasa exactamente por encimade un
o
radar ubicado al nivel del suelo. Cuando el avi´n est´ a 10 millas de dicha
o
a
radar, ´ste detecta que la distancia entre ´l y el avi´n est´ cambiando a a
e
e
o
a
una velocidad de 240 millas por hora. ¿ Cu´l es la velocidad del avi´n?
a
o
10. Un avi´n que vuela con r´pidez constante a una altura de 10000 pie sobre una
o
a
trayectoria recta que lo llevar´ directamentesobre un observador en tierra.
a
En instante dado, el observador nota que el ´ngulo de elevaci´n del avi´n
a
o
o
1
es de π/3 rad y aumenta a una taza de 60 rad/s. Determine la r´pidez del
a
avi´n.
o
Respuesta: 2000/9 pies/s.
11. Un autom´vil se desplaza a una tasa de 30 pies/s y se aproxima a un cruce.
o
Cuando el autom´vil est´ a 120 pies del cruce, un cami´n que viaja a una
o
a
o...