Mate

Semana 14 - Clase 34/10

Tema 2: Variable Compleja

N´ meros complejos y Funciones de variable compleja u 1. Introducci´n o

Desde los cursos elementales de matem´tica nos hemos tropezado con las llamadas ra´ a ıces imaginarias o complejas de polinomios. De este modo la soluci´n a un polinomio c´bico o u    x = 2i  x = −2i x3 − 3x2 + 4x − 12 = 0 =⇒ =⇒ (x + 2i) (x − 2i) (x − 3) = 0 ,  x=3 o cuadr´tico a x2 + 4 = 0 =⇒ x = 2i x = −2i =⇒ (x + 2i) (x − 2i) = 0 , √ nos lleva a definir un n´mero i2 = −1 ⇔ i = −1. Al multiplicar el n´mero imaginario i por u u cualquier n´mero real obtendremos el n´mero imaginario puro bi, con b ∈ . La nomenclatura de u u n´meros imaginarios surgi´ de la idea de que estas cantidades no representan mediciones f´ u o ısicas. Esa idea ha sido abandonadapero qued´ el nombre. o

1.1.

Los n´ meros complejos y su ´lgebra u a

Un n´mero complejo, z, es la generalizaci´n de los n´meros imaginarios (puros), ib. Esto es u o u   a → parte real z = a + ib con a, b ∈ =⇒  b → parte imaginaria Obviamente los n´meros reales ser´n a + i0, esto es, n´meros complejos con su parte imaginaria u a u nula. Los n´meros imaginarios puros ser´n n´meroscomplejos con su parte real nula, esto es 0 + ib. u a u Por ello en general diremos que z = a + ib =⇒ a = Re (z) ∧ b = Im (z)

es decir, a corresponde a la parte real de z y b a su parte imaginaria. Cada n´mero complejo, z, tendr´ un n´mero complejo conjugado, z ∗ tal que: u a u z = a + ib z ∗ = a − ib ⇒ (z ∗ )∗ = z .

Es importante se˜alar que, en general, no existe relaci´n de orden entre losn´meros complejos. n o u Vale decir, que no sabremos si un n´mero complejo es mayor que otro. No est´ definida esta u a operaci´n: o z1 z2 ∨ z1 z2 . Las relaciones de orden s´lo se podr´n establecer entre m´dulos de n´meros complejos y no n´meros o a o u u complejos en general. R´pidamente recordamos el ´lgebra de los n´meros complejos: a a u H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜ 1 Universidad de LosAndes, M´rida e

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Tema 2: Variable Compleja

Dos n´meros complejos ser´n iguales si sus partes reales e imaginarios lo son u a z1 = z2 =⇒ (a1 + ib1 ) = (a2 + ib2 ) =⇒ a1 = a2 ∧ b1 = b2 .

Se suman dos n´meros complejos sumando sus partes reales y sus partes imaginarias. u z 3 = z 1 + z2 =⇒ (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) = a3 + ib3 ,
a3 b3claramente z + z ∗ = 2 Re z, tambi´n z − z ∗ = 2 Im z. Igualmente es inmediato comprobar que e
∗ ∗ (z1 + z2 )∗ = z1 + z2 .

Se multiplican n´meros complejos por escalares multiplicando el escalar por sus partes reales u e imaginarias z3 = αz1 =⇒ α (a1 + ib1 ) = (αa1 ) + i (αb1 ) . Se multiplican n´meros complejos entre si, multiplicando los dos binomios y teniendo cuidado u que i2 = −1. z3 =z1 · z2 por lo tanto: z · z ∗ = a2 + b2 ≥ 0 ⇒ |z|2 = |z ∗ |2 = z · z ∗ .
∗ ∗ Tambi´n es inmediato comprobar que (z1 z2 )∗ = z1 z2 . e

=⇒ (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i (a1 b2 + b1 a2 ) ,

Se dividen n´meros complejos siguiendo la estrategia de racionalizaci´n de fracciones irraciou o nales. Esto es: z3 = z1 z2 =⇒ (a1 + ib1 ) (a2 − ib2 ) a1 a2 + b1 b2 b1 a2 − a1 b2 (a1 + ib1) = = +i , 2 + b2 (a2 + ib2 ) (a2 + ib2 ) (a2 − ib2 ) a2 a2 + b2 2 2 2

es claro que z2 = 0 + i0.

1.2.

Vectores y el plano complejo

Mirando con cuidado el ´lgebra de n´meros complejos nos damos cuenta que un n´mero coma u u plejo puede ser representado por una dupla de n´meros, es decir, u z = (a + ib) z = (a, b) ,

las propiedades entre n´meros complejos de igualdad, suma ymultiplicaci´n por un escalar arriu o ba expuestas se cumplen de forma inmediata con esta nueva representaci´n. Hay que definir las o operaciones de multiplicaci´n y divisi´n entre n´meros complejos de forma que o o u (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ) ∧ (a1 , b1 ) = (a2 , b2 ) a1 a2 + b1 b2 b1 a2 − a1 b2 , a2 + b2 a2 + b2 2 2 2 2 .

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

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