Mate

ELIPSE E HIPÉRBOLA









Integrantes: Carla Poblete
Damaris Segovia
Macarenna Sánchez
Asignatura: Álgebra I
Profesor : Marietta GómezÍndice


1.- LA ELIPSE
1.1 Definición, elementos y formas de la ecuación ______________________________ 3
1.2 Teoremas de la elipse___________________________________________________4
1.2 Teoremas de la elipse___________________________________________________5
1.3 Ejercicios ____________________________________________________________ 6
1.3 Ejercicios____________________________________________________________7

2.- LA HIPÉRBOLA
2.1 Definición y elementos_________________________________________________ 8
2.1 Definición y elementos_________________________________________________ 9
2.1 Definición y elementos_________________________________________________10
2.1 Formas de la ecuación _________________________________________________11
2.1 Formas de la ecuación_________________________________________________12
2.1 Formas de la ecuación _________________________________________________13

2.2 Teoremas de la hipérbola _______________________________________________14
2.3 Propiedades de la hipérbola _____________________________________________15
2.4 Ejercicios hipérbola ___________________________________________________16
2.4 Ejercicioshipérbola____________________________________________________17
2.4 Ejercicios hipérbola____________________________________________________18
2.4 Ejercicios hipérbola____________________________________________________19

3.- ASPECTOS GENERALES
3.1 Ejemplos cotidianos de la hipérbola y elipse ________________________________20
3.2 Conclusión ___________________________________________________________213.3Bibliografia___________________________________________________________22



1.- La elipse:
1.1 Definición , elementos y formas de la ecuación de la Elipse:
Conjunto de todos los puntos en el plano, tales que la suma de las distacias a dos puntos fijos llamados focos es siempre constante. Entonces:
F1 (h-c,k) y F2 (h+c,k)

[pic]

Si (x,y) ∈ a la elipse,
d(F1,(x,y)) + d(F2;(x,y)) =constante
=2k
En donde k es un número real positivo y fijo
Ahora si los focos son de coordenadas [pic][pic] y [pic][pic] (con [pic][pic]), lo anterior nos queda 
[pic]
Eliminando las raíces, y simplificando, se puede llegar a 
[pic]
o equivalentemente 
[pic]
y como [pic][pic] se puede escribir esta última como 
[pic]



1.2 Teoremas de la Elipse:Teorema 1: La elipse de centro (h,k) con focos (h-c,k) y (h+c,k) y eje focal y=k tiene por ecuación:



En donde a > c y b2= a2 – c2
Supongamos que (h,k)=(0,0)
Reemplazamos en *
[pic]

Si x=0



y2 = b2 / √
|y| = |b|
y = b v y = -b
Si y=0



x2 = a2
x=a v x=-a

Eje mayor: v: (a,0),(-a,0) ; tiene longitud 2a
Eje menor: (0,b), (0,-b) ; tiene longitud 2b



Teorema 2: La elipse de eje focal paralelo al eje y con centro (h,k) y focos (h,k+c) y (h,k-c) tiene por ecuación:



En donde a > c y b2=a2-c2



























1.3 Ejercicios de la Elipse:



















Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de una elipsecon vértices V (5,0) y V (-5,0) y focos F (2,0) y F´ (-2,0).
Trace la gráfica.
Solución:
Al ubicar las coordenadas de los vértices y de los focos vemos que estos están en el eje de las x por tanto el eje mayor es el eje x que también podemos decir que es el eje focal.

De donde tenemos que a = 5 y c = 2 y luego b
= 25 - 4= 21 y así b = 21
2
Por tanto la ecuación de la elipse tiene la...