Mate

Técnicas de conteo
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles
de cuantificar.
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama
de árbol, hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteoson el principio multiplicativo y el aditivo.

REGLA DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:

N1 x N2 x ..........x Nrmaneras o formas

PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

El número de permutaciones de n objetos distintos es n!
El número de permutaciones de las cuatro letras a,b,c y d será 4! =24.

EJEMPLO:
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4,5.?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

COMBINACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa
cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

La fórmulapara determinar el número de combinaciones es:
Cn r= n!/ ( n -r )! r!
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

EJEMPLO:
Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas,
a. ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?,
b. ¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?
c. ¿Cuántas maneras tiene si debecontestar una de las 3 primeras preguntas?

Solución:

a. n = 12, r = 9

12C9 = 12! / (12 – 9)!9!

= 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3!
= 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera,
el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen .

b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que estánlas dos primeras preguntas

c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntas

DIAGRAMA DE ARBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

EJEMPLO:
Calcular la probabilidad de que alarrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si dos o más sucesos de un espacio muestral no pueden ocurrir
simultáneamente se dice que son EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. (No
tienen nada en común).
EJERCICIO:

si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A) caen 3 puntos o menos o
B) caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si tienen algo en común (INTERSECCION es distinta a 0) entonces podemos decir que son eventos no excluyentes.

Ejemplo
En una residencial el 60% de hogares se suscribe a prensa libre, el 80% al Dia y el 50% a ambos, Cual es la Probabilidad de que una familia este inscrita al menos a unperiódico.
A= Prensa Libre 60%
B= Al DIa 80%
AB= 50%
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(AUB) = 0.60 +0.80 – 0.50
P(AUB) = 0.90 = 90%
Probabilidad de que ninguna persona este inscrita =
P(AUB)C = 1- P(AUB)
P(AUB)C = 1 – 0.90 = 0.10
P(AUB)C = 10%

INDEPENDENCIA

Dos eventos A y B son independientes si P(A/B) = P(A), de lo contrario son dependientes.

Ejemplo:
Depende de que llueva en...