Mate

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a

Coordinaci´n de Matem´tica II (MAT022)
o
a
2do Semestre 2010
Hoja de Trabajo “Determinantes y Cramer”
1. Calcularel determinante de las siguientes matrices mediante cofactores:




1
1 −3 −1
1 2 −2 −1
 4 −1 0
2 0 0
2
1


c)
b) 
a) 
 −2 2 −1 1 
 −2 0 1
1
1
1
1 −1
1 1 1 −12. Utilizando operaciones
1
2 −2
2
0
0
−2 0
1
a)
1
1
1
2 −3 1



4
1
−1

2
4
−3

elementales y propiedades de los determinantes calcular:
−2 1
1 −3 −1
−1 1
4
1
4 −1 02
12
−1
0 −1 2 −1 1
10
c)
b)
0
0
0
3
1 −1
−1 0
0
0
0
2
1
63


−2
5
1

−1
2
3

0
−1
1

3. Si A es de 3 × 3 y det(A) = 2 calcular det(−2A), det(A4 ), det(A−1 ), det ATA2
4. ¿Es verdad que det(AB ) = det(BA) recuerde que puede pasar AB = BA?¿Y det(A + B ) = det(A) + det(B )?
5. Si la suma de los elementos de cada columna de A es 0, demuestre que det(A) = 0. Si lasuma de los elementos
de cada columna es 1 demuestre que det(A − I ) = 0. ¿Implica esto que |A| = 1?.
n−1

6. Demuestre que |adj(A)| = |A|

7. Demuestre que si A es antisim´trica de orden imparentonces |A| = 0.
e
8. Sea P una matriz invertible. Demuestre que las matrices A y B = P −1 AP siempre tienen el mismo determinante.
9. Sea A una matriz de orden n, tal que A−1 = 2At , calculedet(A).
10. Sean A, B matrices de orden n tales que A = P −1 BP , con P una matriz fija. Muestre que A − λI y B − λI
tienen el mismo determinante.
11. Encuentre los valores de λ tal que A − λI2 notiene inversa, donde
A=

3
1

12. Sea A de n × n invertible. ¿Se cumple adj A−1 =adj(A)

1
2
−1

? Fundamentar.

13. Usando determinantes, encontrar los valores de k ∈ R tal que

3 −1 −kk 0
0
A=
5 0
0
0 k −1

la siguiente matriz sea invertible

2k
−k 

−k 
0

14. Use operaciones elementales filas para demostrar que
1
1
1

a
b
c

a2
b2
c2

= (b −...