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UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS II SEMESTRE 2010 Prof. N. Castillo

CALCULO I. GUÍA DE EJERCICIOS Nº 2: DERIVADAS 1.- Pruebe que f( x ) =√x no tiene derivada en x = 0¿f es continua en x = 0? 2.- Sea f( x )= 
 x +2 2 x + x − 2 si x ≤ −2 si x ≥ −2

¿f es derivable en -2 ?, ¿f es continua en -2? ¿f es continua y derivable en IR+? 3.- Encontrar laderivada de las siguientes funciones implícitas: a) 3x2 – 5xy3 –x2y +2 =0 b) x2 + y2 = 64 c) x =Ln xy + e( 2x + y) d) y3= 4 ( x2 + y2 ) e) x sen y –cos y + cos2y = 0

4.-Un globo meteorológico se eleva verticalmente de manera que su altura s( t ) sobre el suelo durante los primeros 10seg.de su ascenso está dada por s( t )= 6 + 2t + t 2 para s( t ) medido en metros y t en segundos. a) Calcule lavelocidad del globo transcurridos 1 segundo, 4 segundos y 10 segundos. b) Determine la velocidad del globo en el momento en que se encuentra a 9 metros del suelo. 5.-a) Probar que la tasa de cambio instantánea del área de un círculo con respecto a su radio es igual a la longitud de su circunferencia b) Probar que la tasa de cambio instantánea de variación del volumen de una esfera con relación a suradio es igual al área de su superficie. c) ¿Cuál es la tasa de cambio instantánea del área de un cuadrado con respecto a su lado?. 6.- Si la longitud de la arista de un cubo crece a razón de 1 cm/seg, hallar la razón instantánea de crecimiento del volumen cuando: a) La arista mide 2 cm de longitud. b) La arista mide 5 cm de longitud. c) Suponiendo que la arista del cubo crece a razón de 4 cm/seg.¿Cuáles serán los valores? d) Calcule a3 la pendiente de la recta tangente a la curva de Agnesi definida por y = 2 en el punto P de a + x2 abscisa x0 = a. e) Determine la ecuación de la recta tangente a la Lemniscata de Bernoulli ( x2 + y2 )2 = 2a2xy, a = 2 trazada en el punto P( 1, 1 ) f) Determine la ecuación de la recta tangente a la elipse 2 ( x - 1)2+ ( 1 – y )2 = 6 trazada en el punto P ( 2, y )g) Encuentre la abscisa de todos los puntos de la gráfica y = x 3 + 2x2 – 4x + 5 en los cuales la recta tangente es : i) Horizontal ii) Paralela a la recta 2y + 8x -5 = 0 7.-a) Si f( x )= senx + cosx . Demuestre que: f ```( x ) + f ``( x ) + f `( x ) + f( x )= 0 b) ¿Para qué valores de la función f( x ) = k sen 2x satisface la relación f ``( x ) + 3f(x)= 3sen 2x ? c) Pruebe: f ``( x )=

− 8x( x 2 ( x + 6))

5

3

si f( x )=
x 1 x ≤1

8.-Calcule la derivada n – ésima de: i) f( x )= 3x4 + 5x – 4 ii) f( x )= Lnx v) f( x )= e-4x vi)f( x )=4x10ex

iii) f( x )= senx vii) f( x )= exsenx

iv) f( x )= 5x viii) f( x )=
ex x

9.- Determine los puntos críticos de las siguientes funciones

a) f( x )= 3x2 + 4 e) f( x ) = 3x4 - 4x3 i) y =
x Lnx

b) f( x )= x3 + 1

c) f( x )=cos x g) y =
3

d) f( x ) =

1 sen x

f) y = x3 / 3 – 2x2 + 3x + 1 j) y = x + tg x k) y =

x2

h) y = 2ex + e-x

a2 b2 + x a −x

10.- Aplicando el criterio de la primera derivada, determine máximos y mínimos relativos y absolutos. ( si existen) de: a) f( x ) = x2 – 4x + 4 en [ -1, 2 ] d) f( x ) =
1  3π  en  0,  sen x  4 

b) f( x )= x3 + 1 e) f( x ) =
1 en (0, 4) x

c)f( x )= cos x en [-

π , π] 2

f) f( x ) = x3 – 3x + 4 en IR

g) f( x ) = x –1en [-2, 3 ] j) f( x ) =
x3 - 2x2 + 3x + 1 3

h) f( x ) = 3 x 2 k) f( x ) =

i) f( x )= 3x4 – 4x en [-1, 2]

( x − 2)( 3 − x) en [-3, 3] x2

11.- Dada f( x ) = ax3 + bx2 + cx + d . Halle valores de a, b, c y d para los que f tenga un máximo local 2 en x = -1 y un mínimo local –1 en x = 1. 12.- Pruebe queel valor máximo que puede tomar la curva y = a sen x + b cos x es 0 y b ≠ 0.
a 2 + b 2 con a ≠

13.- Un granjero tiene 1200 mts. de malla para encerrar un potrero doble con 2 regiones rectangulares de áreas iguales. Hallar el área máxima que el granjero puede encerrar: 14.- Un depósito rectangular abierto de hojalata debe tener una capacidad de 100 libras, ¿qué dimensiones debe tener dicho...