Mate

Ecuaciones diferenciales t3
Actividad 1
Problema:
Suponga que una masa m cae desde una altura d debido a la acción de la gravedad. Suponga también que la resistencia del viento es proporcional alcuadrado de la velocidad instantánea, con constante de proporcionalidad k y que no hay otras fuerzas involucradas
1) Deduzca la ecuación diferencial que verifica la velocidad v de la masa enfunción del tiempo y el problema de condición inicial.
F2: Resistencia del viento
V: velocidad instantánea
K: constante de proporcionalidad

Al saber que la velocidad instantánea es el límite de lavelocidad media cuando ∆t →0, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo
vt=dxdt
Se sabe que la fuerza total utilizada es F=ma=F1+F2. Siendo F1 la fuerza causada por el peso del cuerpo yF2la resistencia del aire
La ecuación de la resistencia es negativa debido que actúa en acción contraria a diferencia de la fuerza causada por el peso. Entonces la ecuación final queda



Alremplazar los diferentes términos la ecuación queda así
(1)

Graficamos la edo asociada a la ecuación (1)

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Solución:

2) Si v (0)=0, K=0.125, m=5 slugs y g=32[ft/seg^2] utilice elmétodo de Euler para dar una aproximización de la velocidad de la masa cayendo en t=5 segundos.
Primeramente mediante un conversor de unidades físicas nos damos cuenta que 32ft/s2 es aproximadamente 9.8metros/s2, 5 slugs son aproximadamente 340 gramos o 0,34 kg.
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Podemos observar que v(t) cuando t=5, es decir(5) la función velocidad en metros por segundo toma el valor de 150 ft/s que esaproximadamente 45 m/s.
Lo precedido fue a nivel tentativo, pero una aproximación mas exacta del modelo de Euler no mejorado es
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Por tanto la velocidad aproximada seria de 152.2 ft/s

3) Respondala pregunta anterior utilizando en método de euler mejorado. Compare los resultados obtenidos.

4) Resuelva la ecuación de manera exacta y compare sus resultados con los valores numéricos...