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Anillo (matemática)

En álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A) y dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto (A,+,*), de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto * es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de unanillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1) o anillo unitario.


Ejemplo de un anillo

El ejemplo más intuitivo y familiar de un anillo es el conjunto de los números enteros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación usuales. Históricamente,el conjunto ℤ de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo. La razón por la cual los
enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades:

1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b yc, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.
5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
6. Los números enteros están cerradosbajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b
es un número entero.
7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).Definición formal

Sea A un conjunto no vacío, y sean y dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto es un
anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. A es cerrado bajo la operación .

2. La operación es asociativa.

3. La operación tiene a n como elemento neutro.

4. Existeun elemento simétrico para .

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5. La operación es conmutativa.

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:



6. A es cerrado bajo la operación .

7. Laoperación es asociativa.

8. La operación es distributiva respecto de .



Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9. La operación es conmutativa.

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlodel elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

Definición sintética

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:
• R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
• R2. R es un semigrupo para lamultiplicación;
• R3. La multiplicación es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.


Ejemplos
• El conjunto de los enteros gaussianos H = {m+ni: m,n ∈ ℤ}, con la adición y múltiplicación usuales es un anillo unitario. Es un subanillo de los números complejos ℂ.
• El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación de matrices es un anillo no...