MATE

SEMANA 1:

N´ meros Reales
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1.1 Introducci´n
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El conjunto de los n´meros reales, denotado por R, es un conjunto cuyos elementos se llaman n´ meros
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reales, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o adici´n y multiplicaci´n o producto.
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En R existen numerosas propiedades que han sido usadas durante los a˜ os de ense˜ anza b´sica y
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media. Estas propiedadespueden agruparse en tres familias: el primer grupo corresponde a aquellas
asociadas a la igualdad y las ecuaciones; el segundo grupo corresponde a las propiedades en torno a la
desigualdad y las inecuaciones; finalmente, existe un conjunto de propiedades avanzadas que marca la
diferencia entre los n´meros reales y los racionales (las fracciones), estas propiedades se preocupan de
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laestructura interna de los n´meros reales.
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Estas ultimas propiedades est´n ligadas al llamado axioma del supremo, el cual hace a R unico.
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Una posibilidad de estudiar las propiedades de R ser´ dar un largo listado de “todas ellas” de modo
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que cuando se nos pregunte si una propiedad dada es cierta o no, bastar´ con decir: “s´ corresponde
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a la propiedad 1743” (por ejemplo). Estotransformar´ al curso de matem´ticas en uno donde s´lo
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habr´ que memorizar infinitas propiedades.
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En este curso, escogeremos una visi´n opuesta a la anterior. Es decir, todas las propiedades deben
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ser una consecuencia de ciertos postulados b´sicos elementales. Estos postulados b´sicos elementales
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se llaman axiomas y ser´n los pilares fundamentales de nuestra teor´ Laspropiedades de R ser´n
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s´lo aquellas que pueden ser deducidas, mediante una razonamiento l´gico-matem´tico, a partir de los
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AXIOMAS.
Agruparemos los axiomas en tres grupos: Los axiomas de cuerpo (asociados a la igualdad), los axiomas
de orden (asociados a la desigualdad) y el axioma del supremo (que marca la diferencia entre los reales
y los racionales).
Juntando todos losaxiomas que satisface R, suele decirse, en pocas palabras que R es un Cuerpo
Ordenado Completo y Arquimediano.

1.2 Axiomas de Cuerpo de los Reales
Los axiomas de R sobre la igualdad tambi´n son llamados axiomas de cuerpo de los reales. Los agrue
paremos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los siguientes:
Axioma 1. (Conmutatividad)
a) Cualesquiera que sean los reales x, ydados, su suma es un real y es independiente del orden
en que se usen los dos sumandos, es decir:
(∀x, y ∈ R)
1

x + y = y + x.

b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es independiente del
orden en que se haga el producto, es decir:
(∀x, y ∈ R)

x · y = y · x.

Axioma 2. (Asociatividad)
a) (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
b) (∀x, y, z ∈ R) x ·(y · z) = (x · y) · z
Observemos que el axioma de la asociatividad NO DICE que x + (y + z) = (x + z) + y. Sin embargo
esta ultima igualdad es cierta, gracias a la combinaci´n apropiada de los dos axiomas anteriores.
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En efecto:
x + (y + z) =

x + (z + y)

Por el axioma 1

=

(x + z) + y

Por el axioma 2.

Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluye que losoperandos de una triple suma,
se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado. Es por esta raz´n, que en general,
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cuando hay varios sumandos, no se usan los par´ntesis, a no ser que sea estrictamente necesario.
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Ejercicios 1.1: Demostrar las siguientes igualdades, usando solo los axiomas 1 y 2.
1. (a + b) + c = (a + c) + b = (b + a) + c = (b + c) + a = (c + a) + b = (c +b) + a.
Aqu´ se han escrito todos los ordenamientos posibles de los reales a, b y c.
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2. (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z).
El tercer axioma, que sigue, completa las propiedades de manipulaci´n algebraica de la suma y el
o
producto.
Axioma 3. (Distributividad)
a) (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xz
b) (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz
Observemos que en este...