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SEXTO CUATRIMESTRE

MATEMATICAS VI
LA INTEGRAL INDEFINIDA: En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite unainfinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
  ó  
El proceso de hallar laprimitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
Una primitiva de la función en es la función ya que:

Dado que la derivada de unaconstante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sen(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.
Diferencial de una Función: En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal delcambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definido por la expresión

como si la derivada dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx. Se puede también expresar como

El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigormatemático requerido. Según consideraciones matematicas rigurosas modernas, las cantidades dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación geométrica particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significancia analítica si el diferencial es considerado como una aproximación lineal del incrementode la función. En aplicaciones físicas, a menudo se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).
El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.[1] El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno, o los dos,argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene.
Interpretación geométrica del diferencial

Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto.
El diferencial se puede tomar en el sentidogeométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay quedespejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal...