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TRABAJO DE MATEMATICAS

Nombre: Stefany Toro
Curso: 3ro Segundo Cueva Celi

Ecuación canónica de una elipse
 
          Para obtener la ecuación canónica o ecuación reducida de la elipsesituemos un sistema de coordenadas cartesianas con origen O en el punto medio del segmento FF¢ y eje de abscisas en la dirección de la recta que une los focos. En este sistema de referencia lascoordenadas de los focos son  F(c, 0)  y  F¢ (– c, 0). Si ahora  P (x, y)  es un punto cualquiera de la elipse aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: 


[2]
 De [1] y [2] resulta que larelación 

[3]
 es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado en la elipse. Eliminando los radicales después de elevar al cuadrado y simplificar los términossemejantes se llega a la ecuación 

[4]
 donde hemos puesto  b² = a² – c².
           Las coordenadas de todo punto P (x, y) de la elipse satisface la ecuación [4] obtenida de la ecuación [3]. Pero comotoda transformación algebraica ligada a la eliminación de radicales es susceptible de hacer aparecer raíces extrañas, debemos asegurarnos que todo punto P cuyas coordenadas x e y satisfacen laecuación [4] está sobre la elipse. Para ello es suficiente demostrar que los radios vectores segmentos PF y PF¢ de todo punto P verifican la condición [1]. Supongamos entonces que las coordenadas de unpunto P (x, y) satisfacen la ecuación [4]. Despejando y² en [4] y sustituyendo en la expresión [2] de PF, se obtiene, después de unos cuantos cálculos elementales:

y como el radicando es positivo, seconcluye que

De forma análoga se establece que

Por lo tanto, para el punto P considerado se tiene que


es decir

y el punto P considerado se encuentra sobre la elipse. La ecuación [4] sedenomina ecuación canónica de la elipse.
           Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de las variables x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con...