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Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM

Productos notables y factorización

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN UNIDAD V
V.1 PRODUCTOS NOTABLES
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuyaaplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A continuación se describen los más importantes.

V.1.1 CUADRADO DE UN BINOMIO El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo del cuadrado delbinomio a + b se puede obtener multiplicando término a término:

(a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
“El cuadrado de un binomio a + b es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a − b , también multiplicando término a término, se obtiene:

(a − b)2 = (a − b )(a − b ) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
“El cuadrado de un binomio a − b es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que:

(a− b )2 = [a + (− b )]2 = a 2 + 2a(− b ) + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
2

Ejemplos. 1) (a + 4) = a 2 + 2(a )(4) + 4 2 = a 2 + 8a + 16
2 2 2

4) (6k − 8m ) = (6k ) + 2(6k )(− 8m ) + (− 8m ) = 36k − 96km + 64m
2 2 2 2
2 2 2

3) (b − 5) = b 2 + 2(b )(− 5) + 5 2 = b 2 − 10b + 25

2) (2 x + 3 y ) = (2 x ) + 2 (2 x )(3 y ) + (3 y ) = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
2

2

5  2  4 5 25 2 2  2  5  5  5)  a + b  =  a  + 2 a  b  +  b  = a 2 + ab + b 4  3  9 3 16 3  3  4   4 
6) 7 p 2 − 9q 3 7) (− 2k + 5) = (− 2k ) + 2(− 2k )(5) + 5 = 4 k − 20k + 25
2 2 2 2

(

) = (7 p )
2

2 2

+ 2 7 p 2 − 9q 3 + 9q 3

( )(

) ( )

2

= 49 p 4 − 126 p 2 q 3 + 81q 6

1

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Productos notables y factorización

Autor:Dr. José Manuel Becerra Espinosa

8) − 10α 4 − 7λ

(

) = (− 10α )
2

4 2

+ 2 − 10α 4 (− 7λ ) + (− 7λ ) = 100α 8 + 140α 4 λ + 49λ2
2

(

)

Representación geométrica de (a + b ) :
2

a

b

Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a + b y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Los segmentos a y b horizontales y verticales dividen al cuadradoen cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro menor de lado b , y dos rectángulos de largo a y ancho b . La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a + b :

a

a2

ab

b

ab

b2

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Representación geométrica de (a − b ) :
2

a
a−b b

Consiste en considerar el área de un cuadrado delados a . Los segmentos a − b y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a − b y otro menor de lado b , y dos rectángulos de largo a − b y ancho b . La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a 2 . Por lo tanto, el área del cuadrado de a − b es igual al área total menos el área de losrectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es:

a −b

(a − b )2
(a − b )b

(a − b )b
a

b

b2

(a − b )2 = a 2 − 2(a − b)b − b 2 = a 2 − 2ab + 2b 2 − b 2 = a 2 − 2ab + b 2

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

V.1.2 CUADRADO DE UN POLINOMIO El producto de un trinomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un trinomio. El desarrollo del cuadrado del trinomio a + b + c se...