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CAPITULO II

"Determinantes"


1 Reseña histórica: Gottfried Wilhelm Leibniz



Matemático y filósofo alemán nacido en Leipzig en 1646. Fue un niño prodigio cuyos talentos universales persistieron durante toda su vida. Estudió teología, derecho, filosofía y matemática, entrando posteriormente en la carrera diplomática. Se interesó por la matemática cuando volvía de sus viajesen los que pudo conocer a personajes como Huygens. Su primer invento fue una máquina de calcular, que además de sumar y restar, era capaz de dividir y multiplicar. La mayoría de los historiadores afirman que la teoría de los determinantes se originó con
Leibniz, quien fue, con Newton, el co-inventor del Cálculo Diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 conrelación a los sistemas de ecuaciones lineales. Murió en Hannover en 1716, olvidado y desdeñado.

2 Conceptos previos

Veremos el concepto de determinante, una aplicación que asocia a cada matriz A de orden n un número real llamado determinante de A, para ello veremos algunos conceptos previos.

Definición 1

Una permutación de los naturales 1, 2, …., n es una reordenación de los mismos. Ladenotamos por:


Hay n! (n factorial) permutaciones para cada n. Donde:
0! = 1


Ejemplo 1

Si n = 2, hay n! = 2! = 2 permutaciones: 12 21

Si n = 3, hay n! = 3! = 6 permutaciones: 123 132 213 231 312 321

Definición 2

Sea una permutación, decimos que ocurre una inversión en  si, y sólo si, un número mayor precede a otro menor. Es decir:
jp > jq y p < q



Ejemplo 2

Sin = 2:

12 tiene 0 inversiones
21 tiene una inversión (2 precede a 1 y 2 > 1)

Si n = 3

123 tiene cero inversiones
132 tiene una inversión (3 precede a 2 y 3> 2)
213 tiene una inversión (2 precede a 1 y 2 > 1)
231 tiene dos inversiones (2 precede a 1 y 2 > 1, 3 precede a 1 y 3 > 1)
312 tiene dos inversiones (3 precede a 1 y 3 > 1, 3 precede a 2 y 3 > 2)
321 tiene tres inversiones(3 precede a 2 y 3 > 2, 3 precede a 1 y 3 > 1, 2 precede a 1 y 2 > 1)

Definición 3

Una permutación es una permutación par (o positiva) si tiene un número par de inversiones; es una permutación impar (o negativa) si tiene un número impar de inversiones. Se define el signo o paridad de  , sgn( ), por:



Ejemplo 3

Para n = 2:

sgn(12) = 1 (tiene cero inversiones, es una permutaciónpar).
sgn(21) = −1 (tiene una inversión, es una permutación impar).

Para n = 3

sgn(123) = 1 (tiene cero inversiones, es una permutación par).
sgn(132) = −1 (tiene una inversión, es una permutación impar).
sgn(213) = −1 (tiene una inversión, es una permutación impar).
sgn(231) = 1 (tiene dos inversiones, es una permutación par).
sgn(312) = 1 (tiene dos inversiones, es unapermutación par).
sgn(321) = −1 (tiene tres inversiones, es una permutación impar).

Definición 4

Sea A = (aij) una matriz de orden n, un producto elemental es un producto de n elementos de A, uno de cada fila y cada columna:
donde es una permutación






Ejemplo 4

Si , los productos elementales son: a11a22 y a12a21

Si , los productos elementales son: a11a22a33, a12a23a31,a13a21a32, a13a22a31, a12a21a33, a11a23a32

Estamos ya en condiciones de dar la definición de determinante.

3 Determinantes

Definición 5

Sea A = (aij) una matriz de orden n, el determinante de A, denotado por det(A) o A, es un número real definido por


¡Calma! No es tan difícil. El símbolo sólo te indica que es una suma. A cada permutación le corresponde un término en la suma.¿Cómo es ese término? Es un producto elemental con signo: , el signo es positivo si la permutación de los segundos subíndices es par y el signo es negativo si la permutación de los segundos subíndices es impar.

Veamos qué ocurre si tomamos n = 2, es decir . Si n = 2, se tienen dos permutaciones: 12 y 21. Luego tenemos dos términos en la suma. Como sgn(12) = 1, el producto elemental con signo...